Функции Бриллюэна и Ланжевена

Функции Бриллюэна и Ланжевена представляют собой пару специальных функций , которые появляются при изучении идеализированного парамагнитного материала в статистической механике.

Функция Бриллюэна

Функция Бриллюэна - это специальная функция, которая определяется следующим уравнением:

$B_{J}(x)={\frac {2J+1}{2J}}\coth \left({\frac {2J+1}{2J}}x\right)-{\frac {1}{2J}}\coth \left({\frac {1}{2J}}x\right)$

Функция обычно применяется (см. ниже) в контексте, где х является действительной переменной и J является положительным целым или полуцелым числом. В этом случае функция изменяется от -1 до 1, достигая +1, при $x\to +\infty$ и -1 при $x\to -\infty$.

Функция чаще всего применяется при расчете намагниченности идеального парамагнетика. В частности, она описывает зависимость намагниченности $M$ от приложенного магнитного поля $B$ и полного углового момента J состоящего из микроскопических магнитных моментов материала. Намагниченность дается формулой:

$M=Ng\mu _{B}J\cdot B_{J}(x)$

где

• $N$ - число атомов в единице объема,
• $g$ - g-фактор,
• $\mu _{B}$ - магнетон Бора,
• $x$ - отношение Зеемановской энергии магнитного момента во внешнем поле к тепловой энергии $k_{B}T$:

$x={\frac {g\mu _{B}JB}{k_{B}T}}$

$k_{B}$ -  постоянная Больцмана и $T$ температура.

Отметим, что в системе единиц Си индукция магнитного поля $B$ измеряется в теслах, $B=\mu _{0}H$, где $H$ напряженность магнитного поля в А/м и $\mu _{0}$ - проницаемость вакуума.

Функция Ланжевена

В классическом пределе, моменты могут непрерывно выстроиться по полю и $J$ может принимать все значения ($J\to \infty$). В этом пределе функция Бриллюэна превращается в функцию Ланжевена, названную в честь Поля Ланжевена:

$L(x)=\coth(x)-{\frac {1}{x}}$

Для малых значений x, функция Ланжевена может быть разложена в ряд Тейлора:

$L(x)={\tfrac {1}{3}}x-{\tfrac {1}{45}}x^{3}+{\tfrac {2}{945}}x^{5}-{\tfrac {1}{4725}}x^{7}+\dots$

Альтернативная аппроксимация может быть получена из непрерывной дроби Ламберта разложения tanh(x):

$L(x)={\frac {x}{3+{\tfrac {x^{2}}{5+{\tfrac {x^{2}}{7+{\tfrac {x^{2}}{9+\ldots }}}}}}}}$

При достаточно малых x, обе аппроксимации численно лучше, чем прямая оценка аналитического выражения, поскольку последняя страдает от потери значимости.

Высокотемпературный предел

При $x\ll 1$ т. е. когда $\mu _{B}B/k_{B}T$ мало, намагниченность можно аппроксимировать законом Кюри:

$M=C\cdot {\frac {B}{T}}$

где $C={\frac {Ng^{2}J(J+1)\mu _{B}^{2}}{3k_{B}}}$  - константа. Можно отметить, что $g{\sqrt {J(J+1)}}$ - эффективное число магнетонов Бора.

Предел высоких полей

При $x\to \infty$ функция Бриллюэна переходит в 1. Намагниченность насыщается и магнитные моменты полностью выстраиваются по направлению приложенного поля:

$M=Ng\mu _{B}J$