В кольце
Λ
n
{\displaystyle \Lambda ^{n}}
симметрических функций степени n можно ввести скалярное произведение следующим образом:
<
p
λ
,
p
μ
>=
z
λ
δ
μ
λ
{\displaystyle <p_{\lambda },p_{\mu }>=z_{\lambda }\delta _{\mu \lambda }}
p
λ
(
x
)
{\displaystyle p_{\lambda }(x)}
z
λ
{\displaystyle z_{\lambda }}
λ
{\displaystyle \lambda }
δ
μ
λ
{\displaystyle \delta _{\mu \lambda }}
символ Кронекера . При таком определении скалярного произведения функции Шура образуют ортонормированный базис , а матрица перехода от мономиального базиса
m
λ
{\displaystyle m_{\lambda }}
s
λ
{\displaystyle s_{\lambda }}
Более общий вариант задания скалярного произведения
<
p
λ
,
p
μ
>=
α
l
(
λ
)
z
λ
δ
μ
λ
{\displaystyle <p_{\lambda },p_{\mu }>=\alpha ^{l(\lambda )}z_{\lambda }\delta _{\mu \lambda }}
J
λ
(
x
;
α
)
{\displaystyle J_{\lambda }(x;\alpha )}
(P1) (ортогональность)
<
J
λ
(
α
)
,
J
μ
(
α
)
>=
0
{\displaystyle <J_{\lambda }(\alpha ),J_{\mu }(\alpha )>=0}
λ
≠
μ
{\displaystyle \lambda \not =\mu }
(P2) (верхнетреугольность)
J
λ
(
α
)
=
∑
μ
≤
λ
ν
λ
μ
m
μ
{\displaystyle J_{\lambda }(\alpha )=\sum \limits _{\mu \leq \lambda }\nu _{\lambda \mu }m_{\mu }}
(имеется ввиду естественный частичный порядок на разбиениях)
(P3) (нормализация)
[
m
λ
]
J
λ
(
α
)
=
h
λ
(
α
)
=
∏
s
∈
λ
(
α
a
(
s
)
+
l
(
s
)
+
1
)
{\displaystyle [m_{\lambda }]J_{\lambda }(\alpha )=h_{\lambda }(\alpha )=\prod \limits _{s\in \lambda }(\alpha a(s)+l(s)+1)}
(суммирование ведётся по ячейкам разбиения, a(s) - число ячеек справа от s , l(s) - число ячеек под s )
править
Функция Джека
J
κ
(
α
)
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
m
)
{\displaystyle J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})}
разбиения числа
k
{\displaystyle k}
α
{\displaystyle \alpha }
x
1
,
x
2
,
…
,
x
m
{\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m}}
Для m =1
J
κ
(
α
)
(
x
1
)
=
x
1
k
(
1
+
α
)
⋯
(
1
+
(
k
−
1
)
α
)
{\displaystyle J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1})=x_{1}^{k}(1+\alpha )\cdots (1+(k-1)\alpha )}
Для m >1
J
κ
(
α
)
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
m
)
=
∑
μ
J
μ
(
α
)
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
m
−
1
)
x
m
|
κ
/
μ
|
β
κ
μ
,
{\displaystyle J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})=\sum _{\mu }J_{\mu }^{(\alpha )}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m-1})x_{m}^{|\kappa /\mu |}\beta _{\kappa \mu },}
где суммирование производится по всем разбиениям
μ
{\displaystyle \mu }
косое разбиение
κ
/
μ
{\displaystyle \kappa /\mu }
горизонтальной полосой , а именно
κ
1
≥
μ
1
≥
κ
2
≥
μ
2
≥
⋯
≥
κ
n
−
1
≥
μ
n
−
1
≥
κ
n
{\displaystyle \kappa _{1}\geq \mu _{1}\geq \kappa _{2}\geq \mu _{2}\geq \cdots \geq \kappa _{n-1}\geq \mu _{n-1}\geq \kappa _{n}}
μ
n
{\displaystyle \mu _{n}}
J
μ
(
x
1
,
…
,
x
n
−
1
)
=
0
{\displaystyle J_{\mu }(x_{1},\ldots ,x_{n-1})=0}
β
κ
μ
=
∏
(
i
,
j
)
∈
κ
B
κ
μ
κ
(
i
,
j
)
∏
(
i
,
j
)
∈
μ
B
κ
μ
μ
(
i
,
j
)
,
{\displaystyle \beta _{\kappa \mu }={\frac {\prod _{(i,j)\in \kappa }B_{\kappa \mu }^{\kappa }(i,j)}{\prod _{(i,j)\in \mu }B_{\kappa \mu }^{\mu }(i,j)}},}
где
B
κ
μ
ν
(
i
,
j
)
{\displaystyle B_{\kappa \mu }^{\nu }(i,j)}
κ
j
′
−
i
+
α
(
κ
i
−
j
+
1
)
{\displaystyle \kappa _{j}'-i+\alpha (\kappa _{i}-j+1)}
κ
j
′
=
μ
j
′
{\displaystyle \kappa _{j}'=\mu _{j}'}
κ
j
′
−
i
+
1
+
α
(
κ
i
−
j
)
{\displaystyle \kappa _{j}'-i+1+\alpha (\kappa _{i}-j)}
κ
′
{\displaystyle \kappa '}
μ
′
{\displaystyle \mu '}
κ
{\displaystyle \kappa }
μ
{\displaystyle \mu }
(
i
,
j
)
∈
κ
{\displaystyle (i,j)\in \kappa }
(
i
,
j
)
{\displaystyle (i,j)}
диаграмме Юнга разбиения
κ
{\displaystyle \kappa }
В 1997, Ф. Кноп и С. Сахи [1]
J
μ
(
α
)
{\displaystyle J_{\mu }^{(\alpha )}}
n переменных:
J
μ
(
α
)
=
∑
T
d
T
(
α
)
∏
s
∈
T
x
T
(
s
)
.
{\displaystyle J_{\mu }^{(\alpha )}=\sum _{T}d_{T}(\alpha )\prod _{s\in T}x_{T(s)}.}
Сумма берётся по всем допустимым таблицам формы
λ
,
{\displaystyle \lambda ,}
d
T
(
α
)
=
∏
s
∈
K
d
λ
(
α
)
(
s
)
,
{\displaystyle d_{T}(\alpha )=\prod _{s\in K}d_{\lambda }(\alpha )(s),}
где
d
λ
(
α
)
(
s
)
=
α
(
a
λ
(
s
)
+
1
)
+
(
l
λ
(
s
)
+
1
)
.
{\displaystyle d_{\lambda }(\alpha )(s)=\alpha (a_{\lambda }(s)+1)+(l_{\lambda }(s)+1).}
Допустимая таблица формы
λ
{\displaystyle \lambda }
λ
{\displaystyle \lambda }
n такими, что для каждой ячейки (i ,j ) в таблице,
T
(
i
,
j
)
≠
T
(
i
′
,
j
)
{\displaystyle T(i,j)\neq T(i',j)}
i
′
>
i
.
{\displaystyle i'>i.}
T
(
i
,
j
)
≠
T
(
i
,
j
−
1
)
{\displaystyle T(i,j)\neq T(i,j-1)}
j
>
1
{\displaystyle j>1}
i
′
<
i
.
{\displaystyle i'<i.}
K
⊂
T
{\displaystyle K\subset T}
s
=
(
i
,
j
)
∈
λ
{\displaystyle s=(i,j)\in \lambda }
j
>
1
{\displaystyle j>1}
T
(
i
,
j
)
=
T
(
i
,
j
−
1
)
.
{\displaystyle T(i,j)=T(i,j-1).}
Этот результат можно рассматривать как особый случай более общей комбинаторной формулы для многочленов Макдональда.
Функции Джека образуют ортогональный базис в пространстве симметрических многочленов, со следующим скалярным произведением:
⟨
f
,
g
⟩
=
∫
[
0
,
2
π
]
n
f
(
e
i
θ
1
,
…
,
e
i
θ
n
)
g
(
e
i
θ
1
,
…
,
e
i
θ
n
)
¯
∏
1
≤
j
<
k
≤
n
|
e
i
θ
j
−
e
i
θ
k
|
2
α
d
θ
1
⋯
d
θ
n
{\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{[0,2\pi ]^{n}}f\left(e^{i\theta _{1}},\ldots ,e^{i\theta _{n}}\right){\overline {g\left(e^{i\theta _{1}},\ldots ,e^{i\theta _{n}}\right)}}\prod _{1\leq j<k\leq n}\left|e^{i\theta _{j}}-e^{i\theta _{k}}\right|^{\frac {2}{\alpha }}d\theta _{1}\cdots d\theta _{n}}
Нормализация не влияет на это свойство ортогональности. Нормализация, описанная выше, обычно обозначается J нормализацией. C нормализация определена как
C
κ
(
α
)
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
α
|
κ
|
(
|
κ
|
)
!
j
κ
J
κ
(
α
)
(
x
1
,
…
,
x
n
)
,
{\displaystyle C_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},\ldots ,x_{n})={\frac {\alpha ^{|\kappa |}(|\kappa |)!}{j_{\kappa }}}J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},\ldots ,x_{n}),}
где
j
κ
=
∏
(
i
,
j
)
∈
κ
(
κ
j
′
−
i
+
α
(
κ
i
−
j
+
1
)
)
(
κ
j
′
−
i
+
1
+
α
(
κ
i
−
j
)
)
.
{\displaystyle j_{\kappa }=\prod _{(i,j)\in \kappa }\left(\kappa _{j}'-i+\alpha \left(\kappa _{i}-j+1\right)\right)\left(\kappa _{j}'-i+1+\alpha \left(\kappa _{i}-j\right)\right).}
Для
α
=
2
,
C
κ
(
2
)
(
x
1
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle \alpha =2,C_{\kappa }^{(2)}(x_{1},\ldots ,x_{n})}
C
κ
(
x
1
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle C_{\kappa }(x_{1},\ldots ,x_{n})}
зональным многочленом [англ.]
P нормализация задаётся тождеством
J
λ
=
H
λ
′
P
λ
{\displaystyle J_{\lambda }=H'_{\lambda }P_{\lambda }}
H
λ
′
=
∏
s
∈
λ
(
α
a
λ
(
s
)
+
l
λ
(
s
)
+
1
)
,
{\displaystyle H'_{\lambda }=\prod _{s\in \lambda }(\alpha a_{\lambda }(s)+l_{\lambda }(s)+1),}
где
a
λ
{\displaystyle a_{\lambda }}
l
λ
{\displaystyle l_{\lambda }}
α
=
1
,
P
λ
{\displaystyle \alpha =1,P_{\lambda }}
Подобно многочленам Шура,
P
λ
{\displaystyle P_{\lambda }}
α
{\displaystyle \alpha }
Таким образом, формула [2]
P
λ
{\displaystyle P_{\lambda }}
P
λ
=
∑
T
ψ
T
(
α
)
∏
s
∈
λ
x
T
(
s
)
,
{\displaystyle P_{\lambda }=\sum _{T}\psi _{T}(\alpha )\prod _{s\in \lambda }x_{T(s)},}
где сумма берётся по всем таблицам формы
λ
{\displaystyle \lambda }
T
(
s
)
{\displaystyle T(s)}
s таблицы T .
Вес
ψ
T
(
α
)
{\displaystyle \psi _{T}(\alpha )}
T формы
λ
{\displaystyle \lambda }
∅
=
ν
1
→
ν
2
→
⋯
→
ν
n
=
λ
,
{\displaystyle \emptyset =\nu _{1}\to \nu _{2}\to \dots \to \nu _{n}=\lambda ,}
где
ν
i
+
1
/
ν
i
{\displaystyle \nu _{i+1}/\nu _{i}}
i в T . Тогда
ψ
T
(
α
)
=
∏
i
ψ
ν
i
+
1
/
ν
i
(
α
)
,
{\displaystyle \psi _{T}(\alpha )=\prod _{i}\psi _{\nu _{i+1}/\nu _{i}}(\alpha ),}
где
ψ
λ
/
μ
(
α
)
=
∏
s
∈
R
λ
/
μ
−
C
λ
/
μ
(
α
a
μ
(
s
)
+
l
μ
(
s
)
+
1
)
(
α
a
μ
(
s
)
+
l
μ
(
s
)
+
α
)
(
α
a
λ
(
s
)
+
l
λ
(
s
)
+
α
)
(
α
a
λ
(
s
)
+
l
λ
(
s
)
+
1
)
{\displaystyle \psi _{\lambda /\mu }(\alpha )=\prod _{s\in R_{\lambda /\mu }-C_{\lambda /\mu }}{\frac {(\alpha a_{\mu }(s)+l_{\mu }(s)+1)}{(\alpha a_{\mu }(s)+l_{\mu }(s)+\alpha )}}{\frac {(\alpha a_{\lambda }(s)+l_{\lambda }(s)+\alpha )}{(\alpha a_{\lambda }(s)+l_{\lambda }(s)+1)}}}
и произведение берётся только по всем ячейкам s в
λ
{\displaystyle \lambda }
s имеет ячейку из
λ
/
μ
{\displaystyle \lambda /\mu }
не в одном столбце .
При
α
=
1
{\displaystyle \alpha =1}
многочлена Шура
J
κ
(
1
)
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
=
H
κ
s
κ
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
,
{\displaystyle J_{\kappa }^{(1)}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=H_{\kappa }s_{\kappa }(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}),}
где
H
κ
=
∏
(
i
,
j
)
∈
κ
h
κ
(
i
,
j
)
=
∏
(
i
,
j
)
∈
κ
(
κ
i
+
κ
j
′
−
i
−
j
+
1
)
{\displaystyle H_{\kappa }=\prod _{(i,j)\in \kappa }h_{\kappa }(i,j)=\prod _{(i,j)\in \kappa }(\kappa _{i}+\kappa _{j}'-i-j+1)}
произведение берётся по всем длинам крюков разбиения
κ
{\displaystyle \kappa }
Рассмотрим разложения функций Джека по степенному базису. Коэффициенты этого разложения
θ
μ
λ
(
α
)
{\displaystyle \theta _{\mu }^{\lambda }(\alpha )}
J
λ
(
α
)
=
∑
ρ
θ
ρ
λ
p
ρ
.
{\displaystyle J_{\lambda }^{(\alpha )}=\sum _{\rho }\theta _{\rho }^{\lambda }p_{\rho }.}
Для некоторых характеров Джека получены следующие формулы:
θ
(
1
n
)
λ
(
α
)
=
1
,
{\displaystyle \theta _{(1^{n})}^{\lambda }(\alpha )=1,}
θ
(
1
n
−
2
2
1
)
λ
(
α
)
=
∑
s
∈
λ
(
α
a
′
(
s
)
−
l
′
(
s
)
)
,
{\displaystyle \theta _{(1^{n-2}2^{1})}^{\lambda }(\alpha )=\sum _{s\in \lambda }(\alpha a'(s)-l'(s)),}
θ
(
n
)
λ
(
α
)
=
∏
s
∈
λ
∖
(
1
,
1
)
(
α
a
′
(
s
)
−
l
′
(
s
)
)
,
{\displaystyle \theta _{(n)}^{\lambda }(\alpha )=\prod _{s\in \lambda \setminus {(1,1)}}(\alpha a'(s)-l'(s)),}
θ
μ
(
n
)
(
α
)
=
n
!
z
μ
α
n
−
l
(
μ
)
,
{\displaystyle \theta _{\mu }^{(n)}(\alpha )={\frac {n!}{z_{\mu }}}\alpha ^{n-l(\mu )},}
θ
(
1
n
)
λ
(
α
)
=
θ
μ
(
n
)
(
−
1
)
=
n
!
z
μ
(
−
1
)
n
−
l
(
μ
)
,
{\displaystyle \theta _{(1^{n})}^{\lambda }(\alpha )=\theta _{\mu }^{(n)}(-1)={\frac {n!}{z_{\mu }}}(-1)^{n-l(\mu )},}
где
a
′
(
s
)
{\displaystyle a'(s)}
s в диаграмме Юнга,
l
′
(
s
)
{\displaystyle l'(s)}
s ,
z
λ
{\displaystyle z_{\lambda }}
λ
=
[
1
m
1
(
λ
)
2
m
2
(
λ
)
…
]
{\displaystyle \lambda =[1^{m_{1}(\lambda )}2^{m_{2}(\lambda )}\dots ]}
z
λ
=
∏
i
i
m
i
(
λ
)
m
i
(
λ
)
!
{\displaystyle z_{\lambda }=\prod _{i}i^{m_{i}(\lambda )}m_{i}(\lambda )!}
Свойства характеров Джека:
Характеры Джека являются многочленами с целыми коэффициентами от
α
{\displaystyle \alpha }
Соотношение ортогональности.
∑
ν
z
ν
α
l
(
ν
)
θ
ν
λ
(
α
)
θ
ν
μ
(
α
)
=
δ
λ
μ
h
λ
(
α
)
⋅
h
λ
′
(
α
)
.
{\displaystyle \sum _{\nu }z_{\nu }\alpha ^{l(\nu )}\theta _{\nu }^{\lambda }(\alpha )\theta _{\nu }^{\mu }(\alpha )=\delta _{\lambda \mu }h_{\lambda }(\alpha )\cdot h'_{\lambda }(\alpha ).}
При
α
=
1
{\displaystyle \alpha =1}
симметрической группы (
S
n
{\displaystyle S_{n}}
n
=
|
λ
|
{\displaystyle n=|\lambda |}
Если разбиение имеет больше частей, чем число переменных, то многочлен Джека равняется 0:
J
κ
(
α
)
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
m
)
=
0
{\displaystyle J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})=0}
κ
m
+
1
>
0.
{\displaystyle \kappa _{m+1}>0.}
Иногда, особенно в теории случайных матриц, авторы находят более удобным использование матричного аргумента в многочленах Джека. Их связь довольно проста. Если
X
{\displaystyle X}
x
1
,
x
2
,
…
,
x
m
{\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m}}
J
κ
(
α
)
(
X
)
=
J
κ
(
α
)
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
m
)
.
{\displaystyle J_{\kappa }^{(\alpha )}(X)=J_{\kappa }^{(\alpha )}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m}).}
Demmel, James ; Koev, Plamen (2006), "Accurate and efficient evaluation of Schur and Jack functions", Mathematics of Computation 75 (253): 223—239, CiteSeerX 10.1.1.134.5248 doi :10.1090/S0025-5718-05-01780-1 , MR 2176397 Jack, Henry (1970-1971), "A class of symmetric polynomials with a parameter", Proceedings of the Royal Society of Edinburgh , Section A. Mathematics, 69 : 1—18, MR 0289462 {{citation }}: Википедия:Обслуживание CS1 (формат даты) (ссылка )Knop, Friedrich; Sahi, Siddhartha (19 March 1997), "A recursion and a combinatorial formula for Jack polynomials", Inventiones Mathematicae , 128 (1): 9—22, arXiv :q-alg/9610016 Bibcode :1997InMat.128....9K , doi :10.1007/s002220050134 Macdonald, I. G. (1995), Symmetric functions and Hall polynomials , Oxford Mathematical Monographs (2nd ed.), New York: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853489-1 MR 1354144 Stanley, Richard P. (1989), "Some combinatorial properties of Jack symmetric functions", Advances in Mathematics , 77 (1): 76—115, doi :10.1016/0001-8708(89)90015-7 , MR 1014073 Software for computing the Jack function by Plamen Koev and Alan Edelman.MOPS: Multivariate Orthogonal Polynomials (symbolically) (Maple Package) SAGE documentation for Jack Symmetric Functions 
![{\displaystyle [m_{\lambda }]J_{\lambda }(\alpha )=h_{\lambda }(\alpha )=\prod \limits _{s\in \lambda }(\alpha a(s)+l(s)+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/debbcaf633433288afcedc0a2921e35b4cfc19ca)
![{\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{[0,2\pi ]^{n}}f\left(e^{i\theta _{1}},\ldots ,e^{i\theta _{n}}\right){\overline {g\left(e^{i\theta _{1}},\ldots ,e^{i\theta _{n}}\right)}}\prod _{1\leq j<k\leq n}\left|e^{i\theta _{j}}-e^{i\theta _{k}}\right|^{\frac {2}{\alpha }}d\theta _{1}\cdots d\theta _{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca582e0a32a9dc292850e71c6dd10422a1cc0029)
![{\displaystyle \lambda =[1^{m_{1}(\lambda )}2^{m_{2}(\lambda )}\dots ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40be02d1077f2896688a1bdec23e6cef6eb6b936)
