Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 3 декабря 2021 года; проверки требуют 18 правок.
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 3 декабря 2021 года; проверки требуют 18 правок.
Функциональное уравнение — уравнение, выражающее связь между значением функции в одной точке с её значениями в других точках. Многие свойства функций можно определить, исследуя функциональные уравнения, которым эти функции удовлетворяют. Термин «функциональное уравнение» обычно используется для уравнений, несводимых простыми способами к алгебраическим уравнениям. Эта несводимость чаще всего обусловлена тем, что аргументами неизвестной функции в уравнении являются не сами независимые переменные, а некоторые данные функции от них.
Функциональные уравнения Коши приводятся друг к другу. Так, уравнение приводится к уравнению после замены (для этого, естественно, нужно, чтобы не была тождественным нулём).
В классе непрерывных функций и в классе монотонных функций приведённые решения — единственные, если не считать вырожденное решение . Однако в более широких классах функций возможны весьма экзотические решения, см. статью «Базис Гамеля».
(где — константы, не зависящие от ) имеют теорию, аналогом которой является теория линейных дифференциальных уравнений. Например, для линейного рекуррентного соотношения:
,
достаточно найти два линейно независимых решения, все остальные решения будут их линейными комбинациями.
Чтобы найти эти решения, надо подставить в рекуррентное соотношение пробную функцию с неопределённым параметром и попробовать найти те , при которых будет удовлетворяться данное рекуррентное соотношение. Для приведённого примера получим квадратное уравнение с двумя различными корнями и поэтому общим решением для данного рекуррентного соотношения будет формула (константы и подбираются так, чтобы при и формула давала нужные значения для величин и ). В случае кратных корней многочлена дополнительными пробными решениями служат функции и так далее.
Существуют некоторые общие методы решения функциональных уравнений.
В частности, полезным может оказаться применение понятия об инволюции, то есть, использование свойств функций, для которых ; простейшие инволюции:
, , , .
Применение инволюции относится к функциональному методу решения уравнений.
Решить уравнение .
Шаг 1 Напишем схему данного уравнения: .
Шаг 2 Подставим везде, где есть , функцию . Получим:
Но так как , то .
Поэтому .
Шаг 3 Теперь из результатов Шага 1 и Шага 2 делаем простой вывод:
Шаг 4 Подставим везде, где есть , функцию . Имеем:
Шаг 5 Наконец,
Шаг 6 Подставим выражение во вторую строчку системы. Итак,
Ответ: , или
Также можно применить вычислительный метод.
Пример 1. Для решения уравнения:
для всех и , положим : . Тогда и . Далее, положив :
Квадрат вещественного числа неотрицателен, и сумма неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда оба числа равны 0. Значит для всех и является единственным решением этого уравнения.
Другим методом является метод замены.
Пример 2. Решить: .
Ясно, что .
Решить такое уравнение — значит отыскать функцию .
Головинский И. А. Ранняя история аналитических итераций и функциональных уравнений. // Историко-математические исследования. М.: Наука, вып. XXV, 1980, с. 25-51.
Kuczma M. An introduction to the theory of functional equations and inequalities. Warszawa — Kraków — Katowice: Polish Scientific Publishers & Silesian University, 1985.
Лихтарников Л. М. Элементарное введение в функциональные уравнения. СПб.: Лань, 1997.