Тождество параллелограмма

Тождество параллелограмма — одно из равенств в векторной алгебре и векторном анализе.

Параллелограмм

В Евклидовой геометрииПравить

Сумма квадратов длин сторон параллелограмма равна сумме квадратов длин его диагоналей.

 

В пространствах со скалярным произведениемПравить

 
Иллюстрация к тождеству параллелограмма

В векторных пространствах со скалярным произведением это тождество выглядит так[1]:

 

где

 

В нормированных пространствах (поляризационное тождество)Править

В нормированном пространстве (V,  ), для которого справедливо тождество параллелограмма, можно ввести скалярное произведение  , порождающее эту норму, то есть такое что   всех векторов   пространства  . Эта теорема приписывается Фреше, фон Нейману и Йордану[2][3]. Это можно сделать следующем способом:

  • для действительного пространства
      или   или  
  • для комплексного пространства
     

Вышеуказанные формулы, выражающие скалярное произведение двух векторов в терминах нормы, называются поляризационным тождеством.

Очевидно, что норма, выраженная через любое скалярное произведение следующим образом  , будет удовлетворять этому тождеству.

Поляризационное тождество часто используется для превращения банаховых пространств в гильбертовы.

ОбобщениеПравить

Если B — симметричная билинейная форма в векторном пространстве, а квадратичная форма Q выражена как

 ,

тогда

 

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Шилов, 1961, с. 185.
  2. Philippe Blanchard, Erwin Brüning. Proposition 14.1.2 (Fréchet–von Neumann–Jordan) // Mathematical methods in physics: distributions, Hilbert space operators, and variational methods (англ.). — Birkhäuser (англ.), 2003. — P. 192. — ISBN 0817642285.
  3. Gerald Teschl. Theorem 0.19 (Jordan–von Neumann) // Mathematical methods in quantum mechanics: with applications to Schrödinger operators (англ.). — American Mathematical Society Bookstore, 2009. — P. 19. — ISBN 0-8218-4660-4.

СсылкиПравить

ЛитератураПравить

  • Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. — М.: Наука, 1961. — 436 с.