Число Коксетера

Число Коксетера  — характеристика конечной неприводимой группы Коксетера. В случае, когда группа Коксетера является группой Вейля простой[en] алгебры Ли , то говорят о числе Коксетера алгебры .

Понятие названо в честь Гарольда Коксетера.

ОпределениеПравить

Существует несколько эквивалентных определений этого числа.

  • Число Коксетера равно количеству корней, делённому на ранг. Эквивалентно, число Коксетера равно удвоенному числу отражений в группе Коксетера, делённому на ранг. Если группа построена по простой алгебре Ли, то размерность этой алгебры равна n(h + 1), где n — ранг, и h — число Коксетера.
  • Элементом Коксетера (иногда элементом Киллинга — Коксетера) называется произведение всех простых отражений (не путать с элементом группы Коксетера наибольшей длины). Числом Коксетера называется порядок элемента Коксетера.
  • Если   — разложение старшего корня по простым корням, то число Коксетера равно  .
    • Эквивалентно, если   — такой элемент, что  , то  .
  • Число Коксетера — это наибольшая из степеней базисных инвариантов группы Коксетера.

Таблица значенийПравить

Группа Коксетера и символ Шлефли Граф Коксетера Диаграмма Дынкина Число Коксетера   Двойственное число Коксетера   Степени базисных инвариантов
An [3,3...,3]     ...         ...     n + 1 n + 1 2, 3, 4, ..., n + 1
Bn [4,3...,3]     ...         ...      2n 2n − 1 2, 4, 6, ..., 2n
Cn     ...      n + 1
Dn [3,3,..31,1]     ...        ...     2n − 2 2n − 2 n; 2, 4, 6, ..., 2n − 2
E6 [32,2,1]                     12 12 2, 5, 6, 8, 9, 12
E7 [33,2,1]                         18 18 2, 6, 8, 10, 12, 14, 18
E8 [34,2,1]                             30 30 2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30
F4 [3,4,3]                
       
12 9 2, 6, 8, 12
G2 [6]        
   
6 4 2, 6
H3 [5,3]       - 10 2, 6, 10
H4 [5,3,3]         - 30 2, 12, 20, 30
I2(p) [p]     - p 2, p

Вариации и обобщенияПравить

Дуальное число КоксетераПравить

В случае, когда группа Коксетера является группой Вейля простой алгебры Ли  , можно ввести дуальное (двойственное) число Коксетера  . Такое понятие, видимо, впервые появилось в статье Спрингера и Стейнберга 1970 года[1] и часто встречается в теории представлений. Определить это число можно любым из следующих способов.

  • Если   — это полусумма положительных корней, а   — это старший корень, то  .
  • Если   — это старший из коротких корней, разложенный по простым корням, то  .
  • Удвоенное дуальное число Коксетера равно отношению двух инвариантных симметричных билинейных форм на алгебре Ли  : формы Киллинга и формы, в которой старший корень имеет длину 2.
  • По таблице выше.

Для алгебр Ли с простыми связями число Коксетера и дуальной число Коксетера совпадают. Дуальное число число Коксетера не следует путать с числом Коксетера дуальной алгебры Ли.

Для аффинной алгебры Ли[en]   значение уровня, равное  , называется критическим, при этом значении универсальная обертывающая алгебра имеет большой центр.

ПримечанияПравить

СсылкиПравить

  • Н. Бурбаки, Элементы математики, Группы и алгебры Ли, Главы IV-VI, М.: Мир, 1972.
  • J. Humphreys, Reflection groups and Coxeter groups, Cambridge University Press, 1990.
  • Etingof, Pavel I.; Frenkel, Igor; Kirillov, Alexander A. (1998), Lectures on Representation Theory and Knizhnik–Zamolodchikov Equations, Mathematical Surveys and Monographs 58, American Mathematical Society, ISBN 0821804960