Группа Коксетера

Группа Коксетера — группа, порождённая отражениями в гранях $n$-мерного многогранника, у которого каждый двугранный угол составляет целую часть от $\pi$ (то есть равен $\pi /k$ для некоторого целого $k$). Такие многогранники называются многогранниками Коксетера. Группы Коксетера определяются для многогранников в евклидовом пространстве, на сфере, а также в пространстве Лобачевского.

Примеры

• Конечным группам Коксетера изоморфны, в частности, группы Вейля простых алгебр Ли.
• Многогранники Коксетера в евклидовом пространстве размерности $n$:
  • $n$-мерный куб произвольной размерности.
  • $n$-мерный симплекс, образованный точками с координатами $(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ такими, что $0\leqslant x_{1}\leqslant x_{2}\leqslant \ldots \leqslant x_{n}\leqslant 1$.
• Многогранники Коксетера в единичной сфере размерности $n$:
  • правильный $n$-мерный симплекс со стороной $\pi /2$.
• Многогранники Коксетера в пространствах Лобачевского:
  • Правильный $k$-многоугольник с углом $\pi /m$.
  • Правильный прямоугольный додекаэдр в размерности $3$.
  • Правильный прямоугольный стодвадцатиячейник в размерности $4$.

Свойства

• Группы Коксетера описываются и классифицируются с помощью диаграмм Коксетера — Дынкина.
• Многогранник Коксетера является фундаментальной областью действия группы Коксетера.
  • В частности, многогранник Коксетера замощает пространство.
  • В частности, любая евклидова группа Коксетера является примером точечной группы.
• Теорема Винберга. В пространствах Лобачевского всех достаточно больших размерностей ограниченных многогранников Коксетера не существует.
• Сферические многогранники Коксетера являются симплексами.
• Многогранники Коксетера являются простыми.
• Обозначим через $\{r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}\}$ отражения в гранях многогранника, и пусть $\pi /m_{ij}$ есть двугранный угол между гранями $i$ и $j$. Положим $m_{ij}=\infty$, если грани не образуют двугранного угла в многограннике, и $m_{ii}=1$. Тогда группу Коксетера можно задать следующим образом:

  $\left\langle r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}\mid (r_{i}r_{j})^{m_{ij}}=1\right\rangle$

Вариации и обобщения

• Группами Коксетера также называется обобщение класса групп, описанного выше, определяемое с помощью задания:

  $\left\langle r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}\mid (r_{i}r_{j})^{m_{ij}}=1\right\rangle$,

где $m_{ii}=1$ и $m_{ij}\geqslant 2$ при $i\neq j$.

См. также

• Группа комплексных отражений
• Число Коксетера

Литература

• H. S. M. Coxeter. Discrete groups generated by reflections (англ.) // Annals of Mathematics. — 1934. — Vol. 35. — P. 588—621. — doi:10.2307/1968753.