Группа Коксетера

Группа Коксетерагруппа, порождённая отражениями в гранях -мерного многогранника, у которого каждый двугранный угол составляет целую часть от (то есть равен для некоторого целого ). Такие многогранники называются многогранниками Коксетера.

Группы Коксетера определяются для многогранников в евклидовом пространстве, на сфере, а также в пространстве Лобачевского.

Пара , где является группой Коксетера с порождающими элементами , называется системой Коксетера. Заметим, что в общем случае не определяются однозначно группой .

Группы Коксетера описываются и классифицируются с помощью диаграмм Коксетера — Дынкина. Конечным группам Коксетера изоморфны, в частности, группы Вейля простых алгебр Ли.

ПримерыПравить

  • Многогранники Коксетера в Евклидовом пространстве размерности  :
    •  -мерный куб произвольной размерности.
    •  -мерный симплекс, образованный точками с координатами   такими, что  .
  • Многогранники Коксетера в единичной сфере размерности  :
    • правильный  -мерный симплекс со стороной  .
  • Многогранники Коксетера в пространствах Лобачевского:
    • Правильный  -многоугольник с углом  .
    • Правильный прямоугольный додекаэдр в размерности  .
    • Правильный прямоугольный стодвадцатиячейник в размерности  .

СвойстваПравить

  • Многогранник Коксетера является фундаментальной областью действия группы Коксетера.
  • Теорема Винберга.[1] В пространствах Лобачевского всех достаточно больших размерностей ограниченных многогранников Коксетера не существует.
  • Сферические многогранники Коксетера являются симплексами.
  • Многогранники Коксетера являются простыми.
  • Обозначим через   отражения в гранях многогранника, и пусть   есть двугранный угол между гранями   и  . Положим  , если грани не образуют двугранного угла в многограннике, и  . Тогда группу Коксетера можно задать следующим образом:
     

Вариации и обобщенияПравить

  • Группами Коксетера также называется обобщение класса групп, описанного выше, определяемое с помощью задания:
     ,
где   и   при  .

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Э. Б. Винберг, Гиперболические группы отражений УМН, 40:1(241) (1985), 29–66

ЛитератураПравить