Группа Вейля

Группа Вейля — группа, порождённая отражениями в гиперплоскостях, ортогональных к корням корневой системы группы Ли, алгебры Ли или других алгебраических объектов.

Названа в честь Германа Вейля.

Связанные определенияПравить

 
Шесть камер Вейля корневой системы A2.
  • Гиперплоскости, ортогональные корням корневой системы, режут Евклидово пространство на конечное число открытых областей, называемых камерами Вейля.
  • Для группы Ли  , удовлетворяющей определенным условиям (например, для связной компактной группы), и произвольного тора   (не обязательно максимального) можно определить группу Вейля как фактор нормализатора тора   по его централизатору  ,
     
Группа   конечна, поскольку '  имеет конечный индекс в  .
  • При этом, если  максимальный тор (и значит  ), то полученная факторгруппа   называется группой Вейля  , и обозначается  .
  • Хотя эта конструкция зависит от выбора максимального тора, все полученные таким образом группы изоморфны.
  • Если   - компактная и связная группа Ли, то её группа Вейля изоморфна группе Вейля её алгебры Ли.

СвойстваПравить

  • Группа Вейля действует перестановками на камерах Вейля, это действие свободное и транзитивное.
    • В частности, число камер Вейля равно порядку группы Вейля.

ПримерыПравить

  • Группа Вейля алгебры Ли   является симметрической группой на n элементах,  . Её действие можно описать следующим образом. Если   — подалгебра Картана всех диагональных матриц с нулевым следом, то   действует на   перестановкой диагональных элементов перестановки матриц. Это действие индуцирует действие на двойственном пространстве  , которое собственно и является действием группы Вейля.
  • Для общей линейной группы GL максимальный тор образован подгруппой D обратимых диагональных матриц. Нормализатор подгруппы D является группой обобщенных матриц перестановок (матриц типа матриц перестановок, но с любыми ненулевыми числами, вместо единиц). Группа Вейля является симметрической группой. В этом случае отображение NN/T расщепляется, поэтому нормализатор N является полупрямым произведением тора и группы Вейля и значит группа Вейля может быть идентифицирована с подгруппе G.
    • В общем это не всегда так – частное не всегда расщепляется, нормализатор N не всегда полупрямое произведение и группа Вейля не всегда реализуется как подгруппа G.

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

  • Н. Бурбаки. Группы и алгебры Ли. — 1972.