В теории чисел числами Перрена называются члены линейной рекуррентной последовательности:

P(0) = 3, P(1) = 0, P(2) = 2,

и

P(n) = P(n − 2) + P(n − 3) for n > 2.

Последовательность чисел Перрена начинается с

3, 0, 2, 3, 2, 5, 5, 7, 10, 12, 17, 22, 29, 39, ... (последовательность A001608 в OEIS)

ИсторияПравить

Эта последовательность была упомянута Эдуаром Люка́ (Édouard Lucas) в 1876-м. В 1899-м ту же самую последовательность использовал в явном виде Перрен. Наиболее глубокое изучение этой последовательности было сделано Адамсом (Adams) и Шанксом (Shanks) (1982).

СвойстваПравить

Производящая функцияПравить

Производящей функцией чисел Перрена является

 

Матричное представлениеПравить

 

Аналог формулы БинеПравить

Последовательность чисел Перрена может быть записана в терминах степени корней характеристического уравнения

 

Это уравнение имеет три корня. Один из этих корней p вещественный (известен как пластическое число). Используя его и два сопряженных комплексных корня q и r, можно выразить число Перрена аналогично формуле Бине для чисел Люка:

 

Поскольку абсолютные значения комплексных корней q и r меньше 1, степени этих корней будут стремиться к 0 при увеличении n. Для больших n формула упрощается до

 

Эта формула может быть использована для быстрого вычисления чисел Перрена для больших n. Отношение последовательных членов последовательности Перрена стремится к p ≈ 1.324718. Эта константа играет ту же роль для последовательности Перрена, что и золотое сечение для чисел Люка. Аналогичная связь существует между p и последовательностью Падована, между золотым сечением и числами Фибоначчи, а также между серебряным сечением и числами Пелля.

Формула умноженияПравить

Из формул Бине мы можем получить формулы для G(kn) в терминах G(n−1), G(n) и G(n+1). Мы знаем, что

 

Что дает нам систему из трех линейных уравнений с коэффициентами из поля разложения многочлена  . Вычислив обратную матрицу, мы можем решить уравнения и получить  . Затем мы можем возвести в степень k все три полученных значения и посчитать сумму.

Пример программы в системе Magma:

P<x> := PolynomialRing(Rationals());
S<t> := SplittingField(x^3-x-1); 
P2<y> := PolynomialRing(S);
p,q,r := Explode([r[1] : r in Roots(y^3-y-1)]);
Mi:=Matrix([[1/p,1/q,1/r],[1,1,1],[p,q,r]])^(-1);
T<u,v,w> := PolynomialRing(S,3);
v1 := ChangeRing(Mi,T) *Matrix([[u],[v],[w]]);
[p^i*v1[1,1]^3 + q^i*v1[2,1]^3 + r^i*v1[3,1]^3 : i in [-1..1]];

Положим  . В результате решения системы получим

 

Число 23 возникает в этих формулах как дискриминант многочлена, задающего последовательность ( ).

Это позволяет вычислять n-ое число Перрина в арифметике целых чисел, используя   умножений.

Простые и делимостьПравить

Псевдопростые числа ПерренаПравить

Было доказано, что все простые p делят P(p). Обратно, однако, неверно — некоторые составные числа n могут делить P(n), такие числа называются псевдопростыми числами Перрена.

Вопрос о существовании псевдопростых чисел Перрена был рассмотрен самим Перреном, но было неизвестно, существуют они или нет, пока Адамс (Adams) и Шанкс (Shanks) (1982) не обнаружили наименьшее из них, 271441 = 5212. Следующим стало  . Известно семнадцать псевдопростых чисел Перрина, меньших миллиарда;[1] Джон Грантам (Jon Grantham) доказал[2], что имеется бесконечно много псевдопростых чисел Перрина.

Простые числа ПерренаПравить

Числа Перрина, являющиеся простыми, образуют последовательность:

2, 3, 5, 7, 17, 29, 277, 367, 853, 14197, 43721, 1442968193, 792606555396977, 187278659180417234321, 66241160488780141071579864797 (последовательность A074788 в OEIS)

Вайсстайн нашёл вероятно простое число Перрена P(263226) с 32147 знаками в мае 2006 года[3].

ПримечанияПравить

  1. последовательность A013998 в OEIS
  2. Jon Grantham. There are infinitely many Perrin pseudoprimes (англ.) // Journal of Number Theory : journal. — 2010. — Vol. 130, no. 5. — P. 1117—1128. — DOI:10.1016/j.jnt.2009.11.008.
  3. Weisstein, Eric W. Perrin Sequence (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

СсылкиПравить

  • Perrin, R. Query 1484 (неопр.) // L'Intermediaire Des Mathematiciens. — 1899. — Т. 6. — С. 76.

СсылкиПравить