Ядро (теория категорий)

Ядро в теории категорий — категорный эквивалент ядра гомоморфизма из общей алгебры; интуитивно, ядро морфизма  — это «наиболее общий» морфизм , после которого применение даёт нулевой морфизм.

ОпределениеПравить

Пусть   — категория с нулевыми морфизмами. Тогда ядро морфизма   — это уравнитель его и нулевого морфизма  . Более явно, выполняется следующее универсальное свойство:

Ядро   — это морфизм  , такой что:

  •   — нулевой морфизм из   в  :
     
  • для любого морфизма  , такого что   — нулевой, существует единственный морфизм  , такой что  :
     

ПримерыПравить

Во многих категориях это определение ядра совпадает с обычным: если   — гомоморфизм групп или модулей, то ядро в категорном смысле — это вложение ядра в алгебраическом смысле в прообраз.

Однако в категории моноидов ядра в категорном смысле аналогичны ядрам групп, поэтому определение ядра в теории моноидов немного отличается. В категории колец, наоборот, ядер в категорном смысле не существует вовсе, так как не существует нулевых морфизмов. Интерпретировать ядра моноидов и колец в теории категорий можно при помощи концепции пар ядер.

Связь с другими категорными понятиямиПравить

Двойственное к ядру понятие — коядро, то есть ядро морфизма — это его коядро в двойственной категории, и наоборот.

Каждое ядро, как и любой другой уравнитель, является мономорфизмом. Обратно, мономорфизм называется нормальным, если он является ядром другого морфизма. Категория называется нормальной, если любой мономорфизм в ней нормален.

В частности, абелевы категории являются нормальными. В этой ситуации, ядро коядра морфизма называется его образом. При этом каждый мономорфизм является своим собственным образом.

ЛитератураПравить

  • Маклейн С. Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.
  • Paolo Aluffi. Algebra: Chapter 0. — 2009. — (Graduate Studies in Mathematics). — ISBN 0-8218-4781-3.