Уравнитель (математика)

Уравнитель (также ядро разности) в теории категорий — обобщение понятия решения некоторого (алгебраического, дифференциального и т. п.) уравнения, то есть множества, на котором данные отображения совпадают.

Двойственное уравнителю понятие — коуравнитель.

ОпределениеПравить

Уравнитель морфизмов   и   — это предел (если он существует) диаграммы  , то есть такой морфизм  , что   и для любого морфизма   существует единственный морфизм  , для которого следующая диаграмма коммутативна:

Равносильно, уравнитель можно определить как коуниверсальный квадрат для морфизмов   и  .

ПримерыПравить

  • В категории множеств   уравнитель двух отображений   и   — это естественное вложение во множество   множества, на котором   и   совпадают, то есть множества  .
  • Аналогичным образом определяется уравнитель в категории   топологических пространств.
  • В категории абелевых групп   уравнитель гомоморфизмов совпадает с ядром их разности. Именно поэтому уравнитель в произвольной категории также иногда называют ядром разности, хотя в не предаддитивной категории, вообще говоря, разность морфизмов не определена.

ЛитератураПравить

  • Маклейн С. Глава 3. Универсальные конструкции и пределы // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 68—94. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.