Уравнитель (математика)

В математике уравнитель (также ядро разности) — это множество аргументов, в которых две или более функции имеют равные значения. Уравнитель - это множество решений некоторого (алгебраического, дифференциального и т. п.) уравнения. В определенных контекстах, ядро разности является уравнителем ровно двух функций.

ОпределениеПравить

Пусть X и Y - множества. Пусть f и g - функции, как от X, так и от Y. Тогда уравнитель f и g представляет собой множество элементов x из X таких, что f(x) равно g(x) в Y. Символически:

 

Уравнитель может обозначаться как Eq (f, g) или как вариация на эту тему (например, со строчными буквами "eq"). В неформальном контексте используется обозначение {f = g}.

В приведенном выше определении использовались две функции f и g, но нет необходимости ограничиваться только двумя функциями или даже конечным числом функций. В общем случае, если F представляет собой множество функций от X до Y, то уравнитель членов F представляет собой множество элементов x из X таких, что при задании любых двух членов f и g из F, f(x) равно g(x) в Y. Символически:

 

Этот уравнитель может быть записан как Eq(f, g, h, ...), если F является множеством {f, g, h, ...}. В последнем случае можно также найти {f = g = h = ···} в неформальном контексте.

Как вырожденный случай общего определения, пусть F - синглетон {f}. Поскольку f(x) всегда равно самому себе, уравнителем должна быть вся область X. В качестве еще более вырожденного случая пусть F - пустое множество. Тогда уравнитель снова является всей областью X, поскольку квантор всеобщности в определении бессодержательно верен.

Ядро разницыПравить

Двоичный уравнитель (то есть уравнитель только двух функций) также называется ядром разности. Это может также обозначаться как DiffKer(f, g), Ker(f, g) или Ker(fg). Последнее обозначение показывает, откуда взялась эта терминология и почему она наиболее распространена в контексте абстрактной алгебры: разностное ядро f и g − это просто ядро разностни f - g . Кроме того, ядро единственной функции f может быть восстановлено как разностное ядро Eq(f, 0), где 0 - постоянная функция с нулевым значением.

Конечно, все это предполагает алгебраический контекст, в котором ядро функции является прообразом нуля при этой функции; это верно не во всех ситуациях. Однако термин "ядро разности" не имеет другого значения.

В теории категорийПравить

Уравнители могут быть определены универсальным свойством, которое позволяет обобщить понятие из категории множеств на произвольные категории.

В общем контексте X и Y являются объектами, в то время как f и g являются морфизмами от X до Y. Эти объекты и морфизмы образуют диаграмму в рассматриваемой категории, а уравнитель - это просто предел (если он существует) этой диаграммы.

Говоря более явно, уравнитель состоит из объекта E и такого морфизма  , удовлетворяющему  , что для любого морфизма  , удовлетворяющему , существует единственный морфизм   такой, что  , для которого следующая диаграмма коммутативна:

Говорят, что морфизм   уравнивает   и   если   .

В любой универсальной алгебраической категории, включая категории, в которых используются ядра разности, а также саму категорию множеств, объект E всегда можно считать обычным понятием уравнителя, а морфизм eq в этом случае можно считать функцией включения E как подмножества X.

Обобщение этого на более чем два морфизма является простым; просто используйте большую диаграмму с большим количеством морфизмов в ней. Вырожденный случай только одного морфизма также прост; тогда eq может быть любым изоморфизмом от объекта E до X. Правильная диаграмма для вырожденного случая без морфизмов немного сложна: можно изначально нарисовать диаграмму как состоящую из объектов X и Y и без морфизмов. Однако это неверно, поскольку пределом такой диаграммы является произведение X и Y, а не уравнитель. (И действительно, произведения и уравнители — это разные понятия: теоретико-множественное определение произведения не согласуется с теоретико-множественным определением уравнителя, упомянутого выше, следовательно, они на самом деле разные.) Вместо этого соответствующее понимание заключается в том, что каждая диаграмма уравнителя принципиально связана с X, включая Y только потому, что Y является областью значений морфизмов, которые появляются на диаграмме. С этой точки зрения мы видим, что если нет задействованных морфизмов, Y не появляется, и диаграмма уравнителя состоит только из X. Тогда пределом этой диаграммы является любой изоморфизм между E и X.

Можно доказать, что любой уравнитель в любой категории является мономорфизмом. Если в данной категории выполняется обратное, то эта категория называется регулярной (в смысле мономорфизмов). В более общем смысле, регулярным мономорфизмом в любой категории является любой морфизм m, который является уравнителем некоторого множества морфизмов. Некоторые авторы более строго требуют, чтобы m было двоичным уравнителем, то есть уравнителем ровно двух морфизмов. Однако, если рассматриваемая категория является полной, то оба определения согласуются. Понятие ядра разности также имеет смысл в контексте теории категорий. Терминология "ядро разности" является общей во всей теории категорий для любого двоичного уравнителя. В случае предаддитивной категории (категории, обогащенной над категорией абелевых групп) термин "ядро разности" можно интерпретировать буквально, поскольку вычитание морфизмов имеет смысл. То есть, Eq(f, g) = Ker(f - g), где Ker обозначает теоретико-категориальное ядро.

Любая категория с расслоёнными произведениями (коамальгамами) и произведениями имеет уравнители.

ПримерыПравить

  • В категории множеств   уравнитель двух отображений   и   — это естественное вложение во множество   множества, на котором   и   совпадают, то есть множества  .
  • Аналогичным образом определяется уравнитель в категории   топологических пространств.
  • В категории абелевых групп   уравнитель гомоморфизмов совпадает с ядром их разности. Именно поэтому уравнитель в произвольной категории также иногда называют ядром разности, хотя в не предаддитивной категории, вообще говоря, разность морфизмов не определена.
  • В категориях групп, абелевых групп, векторных пространств или колец, ядро разности двух морфизмов определяется ядром разности базовых отображений множеств.
  • Если рассматриваемая категория имеет нулевые объекты и является нулевым морфизмом  , то ядро разности   и   есть не что иное, как ядро  . Таким образом, каждое ядро является примером ядра разности.

Смотрите такжеПравить

ПримечанияПравить

Список литературыПравить

  • Маклейн С. Глава 3. Универсальные конструкции и пределы // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 68—94. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.