Артиново кольцо

А́ртиново кольцо́ (по имени Э. Артина) — ассоциативное кольцо А с единичным элементом, в котором выполняется следующее условие обрыва убывающих цепей: всякая последовательность идеалов стабилизируется, то есть начиная с некоторого

Легко доказать, что это утверждение равносильно тому, что в любом непустом множестве идеалов A существует минимальный элемент. В случае некоммутативного кольца A различают левые артиновы и правые артиновы кольца: первые удовлетворяют условию убывающих цепей для левых идеалов, а вторые — для правых. В общем случае левое артиново кольцо не обязательно является правым артиновым.

Согласно теореме Артина — Веддербёрна, все простые артиновы кольца являются кольцами матриц над телом. В частности, простое кольцо является левым артиновым тогда и только тогда, когда оно является правым артиновым.

Если в определении заменить убывающие цепи на возрастающие, то получим определение нётерова кольца. Несмотря на то, что условие обрыва убывающих цепей двойственно к условию обрыва возрастающих, на самом деле первое условие является более сильным. Согласно теореме Хопкинса-Левицкого[en] любое левое (соотв. правое) артиново кольцо является левым (соотв. правым) нётеровым.

ПримерыПравить

Коммутативные артиновы кольцаПравить

Пусть A — коммутативное нётерово кольцо с единицей. Тогда следующие условия эквивалентны:

ПримечанияПравить

  1. Theorem 459 на http://math.uga.edu/~pete/integral.pdf Архивная копия от 14 декабря 2010 на Wayback Machine
  2. Cohn, 2003, 5.2 Exercise 11
  3. Атья-Макдональд, Глава 8, упражнение 2.

ЛитератураПравить

  • Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М.:Мир, 1972
  • Зарисский О., Самюэль Р. Коммутативная алгебра. — М.:ИЛ, 1963
  • Ленг С. Алгебра. — М.:Мир, 1968
  • Cohn, Paul Moritz. Basic algebra: groups, rings, and fields (англ.). — Springer, 2003. — ISBN 978-1-85233-587-8.