Конечное кольцо

Конечное кольцо в общей алгебре — это кольцо, содержащее конечное число элементов (которое называется порядком кольца). Другими словами, это (непустое) конечное множество , на котором определены операции сложения и умножения, причём относительно сложения образует коммутативную конечную группу, а умножение связано со сложением обычными распределительными законами. Существование единицы и коммутативность умножения в кольце не всегда имеют место, могут также существовать делители нуля.

Количество колец небольших порядков приведено в онлайн-энциклопедии целочисленных последовательностей[1].

Примеры конечных колецПравить

  • Самым простым примером является тривиальное кольцо, состоящее из одного нуля. Любое кольцо содержит тривиальное подкольцо. Это единственное кольцо, в котором ноль является мультипликативной единицей[2]. Все остальные конечные кольца называются нетривиальными.
  • Классическим примером конечного кольца является   — кольцо вычетов по некоторому натуральному модулю  . Кольцо вычетов является полем тогда и только тогда, когда число   простое[3]. Если же число   составное, то в кольце   существуют делители нуля. Например множество   с операциями сложения и умножения по модулю 8 даёт пример кольца без единицы и с делителями нуля:   Кольца вычетов важны при исследовании структуры конечнопорождённых абелевых групп, их также можно использовать для построения p-адических чисел. Это кольцо коммутативно, но кольцо квадратных матриц заданного порядка, элементы которых — классы вычетов по модулю  , уже не коммутативно.
  • Кольцо подмножеств конечного множества   — это кольцо, элементами которого являются подмножества в  . В качестве операции сложения выступает симметрическая разность, а в роли умножения выступает пересечение множеств:
 
 
Выполнение аксиом кольца легко проверяется. Нулевым элементом является пустое множество, единичным — всё  . Все элементы кольца являются идемпотентами, то есть  . Любой элемент является своим обратным по сложению:   Кольцо подмножеств важно в теории булевых алгебр и теории меры, в частности, для построения теории вероятностей[2].

Некоторые свойстваПравить

В коммутативном конечном кольце с единицей каждый ненулевой элемент либо обратим, либо является делителем нуля. В самом деле, пусть   — ненулевой элемент кольца порядка  ; составим произведения   на все ненулевые элементы кольца:  . Если среди этих произведений есть единица, то элемент обратим, а если нет, то либо одно из произведений равно нулю, либо какие-то два произведения равны:   или   В обоих случаях   — делитель нуля, ч. т. д.

Следствие: нетривиальное коммутативное конечное кольцо без делителей нуля является полем (существование в кольце единицы следует из того же рассуждения).

Кольцо   с нетривиальным умножением (у которого не все произведения элементов   равны нулю) называется простым, если в нём нет двусторонних идеалов, кроме тривиального подкольца и самого  . Любое поле является простым кольцом, так как в поле нет собственных идеалов. Коммутативное кольцо   с единицей является полем тогда и только тогда, когда оно является простым кольцом.

Теоремы ВеддербёрнаПравить

Малая теорема Веддербёрна утверждает, что всякое конечное тело является полем (то есть коммутативно по умножению)[4][5].

Натан Джекобсон позже обнаружил ещё одно условие, которое гарантирует коммутативность кольца: если для каждого элемента   из кольца   существует такое целое  , что  , то кольцо   коммутативно[6]. Обнаружены и другие признаки коммутативности колец[7].

Ещё одна теорема Веддербёрна: пусть   — простое кольцо с единицей и минимальными левыми идеалами. Тогда кольцо   изоморфно кольцу всех матриц порядка   над некоторым телом. При этом   определено однозначно, а тело с точностью до изоморфизма. Обратно, для любого тела   кольцо   является простым кольцом. Это означает, что любое конечное простое кольцо изоморфно кольцу квадратных матриц над некоторым конечным полем[8].

ПримечанияПравить

  1. последовательность A027623 в OEIS
  2. 1 2 Винберг, 2011, с. 18-19.
  3. Винберг, 2011, с. 28—34.
  4. Херстейн, 1972, с. 70—71.
  5. Прасолов В. В. Многочлены. — М.: МЦНМО, 2003. — С. 113. — 336 с. — ISBN 5-94057-077-1.
  6. Херстейн, 1972, с. 74.
  7. Pinter-Lucke J. Commutativity conditions for rings: 1950–2005 // Expositiones Mathematicae. — 2007. — Т. 25, вып. 2. — С. 165—174. — doi:10.1016/j.exmath.2006.07.001.
  8. Ван дер Варден, 1975, с. 372.

ЛитератураПравить

  • Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972. — 160 с.
  • Бельский А., Садовский Л. Кольца // Квант. — 1974. — № 2.
  • Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Мир, 1975. — 623 с.
  • Винберг Э. Б. Курс алгебры. — Новое издание, перераб. и доп. — M.: МЦНМО, 2011. — 592 с.
  • Джекобсон Н. Строение колец. — М.: Издательство иностранной литературы, 1961.
  • Херстейн И. Некоммутативные кольца. — М.: Мир, 1972. — 190 с.