Конечное кольцо

Конечное кольцо в общей алгебре — это кольцо, содержащее конечное число элементов (которое называется порядком кольца). Другими словами, это (непустое) конечное множество $R$, на котором определены операции сложения и умножения, причём относительно сложения $R$ образует коммутативную конечную группу, а умножение связано со сложением обычными распределительными законами. Существование единицы и коммутативность умножения в кольце не всегда имеют место, могут также существовать делители нуля.

Количество колец небольших порядков приведено в онлайн-энциклопедии целочисленных последовательностей.

Примеры конечных колец

• Самым простым примером является тривиальное кольцо, состоящее из одного нуля. Любое кольцо содержит тривиальное подкольцо. Это единственное кольцо, в котором ноль является мультипликативной единицей. Все остальные конечные кольца называются нетривиальными.

• Классическим примером конечного кольца является $\mathbb {Z} _{n}$ — кольцо вычетов по некоторому натуральному модулю $n$. Кольцо вычетов является полем тогда и только тогда, когда число $n$ простое. Если же число $n$ составное, то в кольце $\mathbb {Z} _{n}$ существуют делители нуля. Например множество $\{0;\ 2;\ 4;\ 6\}$ с операциями сложения и умножения по модулю 8 даёт пример кольца без единицы и с делителями нуля: $2\cdot 4=4\cdot 6=0.$ Кольца вычетов важны при исследовании структуры конечнопорождённых абелевых групп, их также можно использовать для построения p-адических чисел. Это кольцо коммутативно, но кольцо квадратных матриц заданного порядка, элементы которых — классы вычетов по модулю $n$, уже не коммутативно.

• Кольцо подмножеств конечного множества $X$ — это кольцо, элементами которого являются подмножества в $X$. В качестве операции сложения выступает симметрическая разность, а в роли умножения выступает пересечение множеств:

$A+B=A\Delta B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)$

$A\cdot B=A\cap B$

Выполнение аксиом кольца легко проверяется. Нулевым элементом является пустое множество, единичным — всё $X$. Все элементы кольца являются идемпотентами, то есть $A\cdot A=A$. Любой элемент является своим обратным по сложению: $A+A=0.$ Кольцо подмножеств важно в теории булевых алгебр и теории меры, в частности, для построения теории вероятностей.

• Каждое конечное поле или конечное тело одновременно является конечным кольцом.

Некоторые свойства

В коммутативном конечном кольце с единицей каждый ненулевой элемент либо обратим, либо является делителем нуля. В самом деле, пусть $a$ — ненулевой элемент кольца порядка $n$; составим произведения $a$ на все ненулевые элементы кольца: $aa_{1}\dots aa_{n-1}$. Если среди этих произведений есть единица, то элемент обратим, а если нет, то либо одно из произведений равно нулю, либо какие-то два произведения равны: $aa_{i}=aa_{k},$ или $a(a_{i}-a_{k})=0.$ В обоих случаях $a$ — делитель нуля, ч. т. д.

Следствие: нетривиальное коммутативное конечное кольцо без делителей нуля является полем (существование в кольце единицы следует из того же рассуждения).

Кольцо $R$ с нетривиальным умножением (у которого не все произведения элементов $R$ равны нулю) называется простым, если в нём нет двусторонних идеалов, кроме тривиального подкольца и самого $R$. Любое поле является простым кольцом, так как в поле нет собственных идеалов. Коммутативное кольцо $R$ с единицей является полем тогда и только тогда, когда оно является простым кольцом.

Теоремы Веддербёрна

Малая теорема Веддербёрна утверждает, что всякое конечное тело является полем (то есть коммутативно по умножению).

Натан Джекобсон позже обнаружил ещё одно условие, которое гарантирует коммутативность кольца: если для каждого элемента $a$ из кольца $R$ существует такое целое $n>1$, что $a^{n}=a$, то кольцо $R$ коммутативно. Обнаружены и другие признаки коммутативности колец.

Ещё одна теорема Веддербёрна: пусть $R$ — простое кольцо с единицей и минимальными левыми идеалами. Тогда кольцо $R$ изоморфно кольцу всех матриц порядка $n$ над некоторым телом. При этом $n$ определено однозначно, а тело с точностью до изоморфизма. Обратно, для любого тела $D$ кольцо $\mathrm {Mat} (D,n)$ является простым кольцом. Это означает, что любое конечное простое кольцо изоморфно кольцу квадратных матриц над некоторым конечным полем.

Литература

• Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972. — 160 с.
• Бельский А., Садовский Л. Кольца // Квант. — 1974. — № 2.
• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М.: Мир, 1975. — 623 с.
• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — Новое издание, перераб. и доп. — M.: МЦНМО, 2011. — 592 с.
• Джекобсон Н. Строение колец. — М.: Издательство иностранной литературы, 1961.
• Херстейн И. Некоммутативные кольца. — М.: Мир, 1972. — 190 с.