Геометрия Галуа
Геометрия Галуа (названа именем французского математика 19-го века Эвариста Галуа) — это раздел конечной геометрии, рассматривающий алгебраическую и аналитическую геометрию над конечными полями (или полями Галуа)[1]. В более узком смысле геометрию Галуа можно определить как проективное пространство над конечным полем[2].
Введение
правитьОбъектами изучения служат векторные пространства, аффинные и проективные пространства над конечными полями и различные структуры, содержащихся в них. В частности, дуги[англ.], овалы, гиперовалы, униталы[англ.], блокирующие множества[англ.], овалы, многообразия и другие конечные аналоги структур, имеющихся в бесконечных геометриях.
Джордж Конуэлл продемонстрировал геометрию Галуа в 1910, когда описывал решение задачи Киркмана о школьницах как разбиение множества скрещивающихся прямых в PG(3,2), трёхмерной проективной геометрии над полем Галуа GF(2)[англ.][3]. Подобно методам геометрии прямых в пространстве над полем с характеристикой 0, Конуэлл использовал плюккеровы координаты в PG(5,2) и отождествил точки, представляющие прямые в PG(3,2) с точками, лежащими на квадрике Кляйна[англ.].
В 1955 году Беньямино Сегре описал овалы для нечётных q. Теорема Сегре[англ.] утверждает, что в геометрии Галуа нечётного порядка (проективная плоскость, определённая над конечным полем с нечётной характеристикой) любой овал является коническим сечением. На Международном конгрессе математиков 1958 года Сегре представил обзор имеющихся на то время результатов в геометрии Галуа[4].
называется порядком конечной проективной плоскости, такой, что каждая точка (прямая), и число точек равняется числу прямых, Например, при проективная плоскость - треугольник. Плоскости Галуа являются конечными проективными плоскостями, для которых справедлива теорема Дезарга. Для конечной проективной плоскости определяется несколько когерентных конфигураций. Схема, содержащая их, определяется на множестве где - множество элементов (точек и прямых) конечной проективной плоскости и в случае дезарговости расширяется до схемы, соответствующей покомпонентному действию группы на [5]
См. также
правитьПримечания
править- ↑ Galois geometry Архивная копия от 10 августа 2011 на Wayback Machine в Энциклопедии Математики
- ↑ "Проективные пространства над конечными полями, известные также как геометрии Галуа, ...", (Hirschfeld, Thas 1992)
- ↑ Conwell, 1910, с. 60–76.
- ↑ Segre, 1958.
- ↑ С.А.Евдокимов, И.Н.Пономаренко, Схемы отношений конечной проективной плоскости и их расширения, Алгебра и анализ, 2009, том 21, выпуск 1, 90-132.
Литература
править- Beniamino Segre. On Galois Geometries. — International Mathematical Union, 1958. Архивная копия от 30 марта 2015 на Wayback Machine
- George M. Conwell. The 3-space PG(3,2) and its Groups. — Annals of Mathematics. — 1910. — Т. 11. — С. 60–76. — doi:10.2307/1967582.
- J. W. P. Hirschfeld. Projective Geometries Over Finite Fields. — Oxford University Press, 1979. — ISBN 978-0-19-850295-1.
- J. W. P. Hirschfeld. Finite Projective Spaces of Three Dimensions. — Oxford University Press, 1985. — ISBN 0-19-853536-8.
- J. W. P. Hirschfeld, J. A. Thas. General Galois Geometries. — Oxford University Press, 1992. — ISBN 978-0-19-853537-9.
- Jan De Beule, Leo Storme. Current Research Topics in Galois Geometry. — Nova Science Publishers, 2011. — ISBN 978-1-61209-523-3. Архивная копия от 29 января 2016 на Wayback Machine
Для улучшения этой статьи желательно:
|