Плюккеровы координаты

Плюккеровы координаты — координаты (наборы чисел), определяющие подпространства $M$ (произвольной размерности) векторного или проективного пространства $L$. Являются обобщением однородных координат точек проективного пространства и также определены с точностью до умножения на произвольный ненулевой множитель. Впервые введены Плюккером в частном случае проективных прямых в трёхмерном проективном пространстве, что соответствует случаю $\dim M=2$ и $\dim L=4$ для векторных пространств.

Определение в координатах

Пусть $M$ — $m$-мерное подпространство $n$-мерного векторного пространства $L$. Для определения плюккеровых координат подпространства $M$ выберем произвольный базис $e_{1},\;\ldots ,\;e_{n}$ в $L$ и произвольный базис $a_{1},\;\ldots ,\;a_{m}$ в $M$. Каждый вектор $a_{i}$ имеет в базисе $e_{1},\;\ldots ,\;e_{n}$ координаты $(a_{i1},\;\ldots ,\;a_{in})$, то есть $a_{i}=a_{i1}e_{1}+\ldots +a_{in}e_{n}$. Записывая координаты векторов $a_{1},\;\ldots ,\;a_{m}$ в виде строк, получим матрицу

$A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{pmatrix}},$

ранг которой равен $m$. Обозначим через $M_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}$ минор матрицы $A$, состоящий из столбцов с номерами $i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}$, принимающими значения от $1$ до $n$. Числа $M_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}$ не независимы: если набор индексов $(i_{1},\;\ldots ,\;i_{m})$ получен из $(j_{1},\;\ldots ,\;j_{m})$ с помощью перестановки $\sigma \in S_{m}$, то имеет место равенство $M_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}=\pm M_{j_{1},\;\ldots ,\;j_{m}}$, где знак «плюс» или «минус» соответствует тому, является ли перестановка $\sigma$ чётной или нечётной. Рассматриваемая с точностью до умножения на общий ненулевой множитель совокупность $C_{n}^{m}$ чисел $p_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}=M_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}$ для всех упорядоченных наборов индексов $i_{1}<\ldots <i_{m}$, принимающих значения от $1$ до $n$, называется плюккеровыми координатами подпространства $M$.

Свойства

1. Независимость от выбора базиса.

Если в подпространстве $M$ выбран другой базис $a'_{1},\;\ldots ,\;a'_{m}$, то новый набор плюккеровых координат $p'_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}$ будет иметь вид $p'_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}=c\cdot p_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}$, где $c$ — некоторый ненулевой множитель. Действительно, новый базис связан со старым соотношениями $a'_{i}=a'_{i1}a_{1}+\cdots +a'_{im}a_{m}$, и определитель матрицы $(a'_{ij})$ отличен от нуля. Согласно определению плюккеровых координат и теореме об определителе произведения матриц, имеем $p'_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}=c\cdot p_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}$, где $c=\det(a'_{ij})$.

2. Грассманиан.

Ставя в соответствие каждому $m$-мерному подпространству $M$ набор его плюккеровых координат $p_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}$, мы сопоставляем $M$ некоторую точку проективного пространства $P$ размерности $C_{n}^{m}-1$. Построенное таким образом отображение $g$ инъективно, но не сюръективно (то есть его образ не совпадает со всем пространством $P$). Образ множества всех $m$-мерных подпространств $n$-мерного пространства при отображении $g$ является $m(n-m)$-мерным проективным алгебраическим многообразием в $P$, называемым многообразием Грассмана или грассманианом и обозначаемым $G(m,\;n)$ или $\mathrm {Gr} _{m}(L)$.

3. Соотношения Плюккера.

Критерием, с помощью которого можно определить, принадлежит ли данная точка проективного пространства $P$ грассманиану $G(m,\;n)$, являются так называемые соотношения Плюккера:

$\sum _{r=1}^{m+1}(-1)^{r}p_{j_{1},\;\ldots ,\;j_{m-1}k_{r}}\cdot p_{k_{1},\;\ldots ,\;{\breve {k_{r}}},\;\ldots ,\;k_{m+1}}=0,\quad \forall \,(j_{1},\;\ldots ,\;j_{m-1}),\quad \forall \,(k_{1},\;\ldots ,\;k_{m+1}),$

где все индексы в наборах $(j_{1},\;\ldots ,\;j_{m-1})$ и $(k_{1},\;\ldots ,\;k_{m+1})$ принимают значения от $1$ до $n$, знак ${\breve {}}$ обозначает пропуск стоящего под ним индекса. Данная сумма получается, если из совокупности $(k_{1},\;\ldots ,\;k_{m+1})$ выбрасывается поочередно по одному индексу и этот индекс приписывается справа к набору $(j_{1},\;\ldots ,\;j_{m-1})$, потом два получившихся числа $p_{\alpha _{1},\;\ldots ,\;\alpha _{m}}=M_{\alpha _{1},\;\ldots ,\;\alpha _{m}}$ перемножаются (заметим, что эти числа являются минорами матрицы $A$, но не обязательно являются плюккеровыми координатами, так как наборы их индексов не обязательно упорядочены по возрастанию) и затем берётся сумма всех таких произведений с чередующимися знаками. Соотношения Плюккера выполнены для каждого $m$-мерного подпространства $M\subset L$. И обратно, если однородные координаты $p_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}$, $i_{1}<\ldots <i_{m}$, некоторой точки проективного пространства $P$ удовлетворяют этим соотношениям, то эта точка при отображении $g$ соответствует некоторому подпространству $M\subset L$, то есть принадлежит $G(m,\;n)$.

На языке матриц это означает: если числа $p_{i_{1},\;\ldots ,\;i_{m}}$ удовлетворяют соотношениям Плюккера, то существует матрица, для которой они являются минорами максимального порядка, а если нет, то не существует такой матрицы. Что решает задачу о возможности восстановления матрицы по её минорам максимального порядка, с точностью до линейного преобразования строк.

Пример

В случае $n=4$ и $m=2$ имеем $C_{4}^{2}=6$, и следовательно, каждая плоскость $M$ в 4-мерном векторном пространстве имеет $6$ плюккеровых координат: $p_{12}$, $p_{13}$, $p_{14}$, $p_{23}$, $p_{24}$, $p_{34}$. Выбирая в плоскости $M$ базис $a_{1},\;a_{2}$ таким образом, что $a_{1}=e_{1}$ и $a_{2}=e_{2}$, получаем матрицу

$A={\begin{pmatrix}1&0&\alpha &\beta \\0&1&\gamma &\delta \\\end{pmatrix}},$

откуда находим:

$p_{12}=1$, $p_{13}=\gamma$, $p_{14}=\delta$, $p_{23}=-\alpha$, $p_{24}=-\beta$, $p_{34}=\alpha \delta -\beta \gamma$.

Очевидно, что имеет место соотношение

$p_{12}p_{34}-p_{13}p_{24}+p_{14}p_{23}=0$,

сохраняющееся при умножении всех $p_{i_{1}i_{2}}$ на любой общий множитель, то есть не зависящее от выбора базиса. Это и есть соотношение Плюккера, определяющее проективную квадрику $G(2,\;4)$ в 5-мерном проективном пространстве.

Литература

• Картан Э. Внешние дифференциальные системы и их геометрические проблемы. — М.: изд-во МГУ, 1962.
• Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении. — М.: Факториал, 1998.
• Ходж В., Пидо Д. Методы алгебраической геометрии. — Т. 1. — М.: ИЛ, 1954. (Здесь плюккеровы координаты названы грассмановыми).
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Физматлит, 2009.
• Casas-Alvero E. Analytic Projective Geometry. — : European Mathematical Society, 2014.