Гипервещественное число

Гипервещественные числа или гипердействительные числа — расширение поля вещественных чисел , которое содержит числа, бо́льшие, чем все представимые в виде конечной суммы

Термин «гипервещественное число» (англ. hyper-real number) был предложен американским математиком Эдвином Хьюиттом[en] в 1948 году[1]. Теорию поля гипервещественных чисел как расширения поля вещественных чисел опубликовал в 1960-е годы Абрахам Робинсон, который назвал её «нестандартным анализом». Робинсон также доказал непротиворечивость этой теории (точнее, свёл проблему к непротиворечивости вещественных чисел).

Теория гипервещественных чисел представляет собой строгий метод исчисления бесконечно больших и бесконечно малых величин, которые, в отличие от стандартного анализа, являются не переменными, а постоянными, то есть числами. В нестандартном анализе на современной основе реабилитируется восходящая к Лейбницу и его последователям идея о существовании актуальных бесконечно малых величин, отличных от нуля, — идея, которая в историческом развитии математического анализа была заменена понятием предела переменной величины. Любопытно, что представления об актуальных бесконечно больших и бесконечно малых величинах сохранялись в учебниках физики и других естественных наук, где часто встречаются фразы вроде «пусть — (бесконечно малый) элемент объёма…»[2].

Формальное определениеПравить

Множество гипервещественных чисел   представляет собой неархимедово упорядоченное поле, расширение поля вещественных чисел  , которое содержит числа, бо́́льшие, чем все представимые в виде конечной суммы   Каждое такое число бесконечно велико, а обратное ему бесконечно мало́.

Гипервещественные числа удовлетворяют принципу переноса — строгому варианту эвристического принципа непрерывности Лейбница. Принцип переноса утверждает, что утверждения в логике первого порядка об   справедливы и для  . Например, правило коммутативности сложения х + у = у + х справедливо для гипервещественных чисел так же, как и для вещественных. Принцип переноса для ультрастепеней является следствием теоремы Лося (1955). Свойства арифметических операций с гипервещественными числами в основном такие же, как у вещественных.

Изучение бесконечно малых величин восходит к древнегреческому математику Евдоксу Книдскому, который использовал для их исчисления метод исчерпывания. В 1961 году А. Робинсон доказал, что поле вещественных чисел может быть расширено до множества (упорядоченного неархимедового поля), содержащего бесконечно малые и бесконечно большие элементы в том смысле, какой вкладывали в эти понятия Лейбниц и другие математики XVIII века[3]..

Применение гипервещественных чисел и, в частности, принципа переноса, в задачах математического анализа называется нестандартным анализом. Одним из непосредственных приложений является определение основных понятий анализа, таких как производная и интеграл напрямую, без использования перехода к пределу или сложных логических конструкций. Так, определение производной   из аналитического становится чисто арифметическим:

 

для бесконечно малого  , где   означает стандартную часть числа, которая связывает каждое конечное гипервещественное число с единственным вещественным, бесконечно близким к нему.

Поле гипервещественных чиселПравить

Поле гипервещественных чисел   состоит из трёх частей[4]:

  1. Отрицательные бесконечные числа.
  2. Конечные числа.
  3. Положительные бесконечные числа.

Конечные числа, в свою очередь, можно разделить на две категории: обычные вещественные и нестандартные. Каждое нестандартное конечное число может быть однозначно представлено в виде:   где   — вещественное число, а   — бесконечно малая (положительная или отрицательная). При   получается множество бесконечно малых. Таким образом, каждое вещественное число оказывается как бы окутано аурой (монадой) своих гипервещественных двойников, бесконечно к нему близких[5].

Алгебраическая структураПравить

Положим, что   является тихоновским пространством, которое также называется  -пространством, а   — алгебра непрерывных вещественных функций на  . Пусть   есть максимальный идеал в  . Тогда факторкольцо  , является, по определению, действительной алгеброй и может быть рассмотрено как линейно упорядоченное множество. Если   строго содержит  , то   называется гипервещественным идеалом (по терминологии Хьюитта, 1948), а   — гипервещественным полем. Отметим, что данное предположение не означает, что мощность поля   больше, чем у поля  , они могут на самом деле иметь одинаковую мощность.

Важный частный случай — если пространство   является дискретным пространством, в этом случае   можно отождествить с мощностью множества  , и   с вещественной алгеброй   функций   от  . Гипервещественные поля, которые мы получаем в этом случае, называются ультрастепенями[en]   и идентичны ультрастепеням, построенным через свободные ультрафильтры в общей топологии.

ПримечанияПравить

  1. Hewitt, Edwin (1948). “Rings of real-valued continuous functions. I”. Trans. Amer. Math. Soc. 64: 45—99. DOI:10.1090/s0002-9947-1948-0026239-9.
  2. См., например: Детлаф А. А., Яворский Б. М. Курс физики. М.: Высшая школа, 1999, С. 128 и далее.
  3. Панов В. Ф. Математика древняя и юная. — Изд. 2-е, исправленное. — М.: МГТУ им. Баумана, 2006. — С. 548—553. — 648 с. — ISBN 5-7038-2890-2.
  4. Успенский, 1987, с. 20.
  5. Успенский, 1987, с. 19—21.

ЛитератураПравить