Гипотеза Бореля

Гипотеза Бореля — гипотеза в топологии многообразий о гомеоморфности гомотопически эквивалентных асферических замкнутых многообразий.

Формулировка

Пусть $M$ и $N$ — замкнутые и асферические топологические многообразия, и пусть

$f:M\to N$

— гомотопическая эквивалентность. Гипотеза Бореля утверждает, что отображение $f$ гомотопно гомеоморфизму.

Замечания

• Поскольку асферические многообразия с изоморфными фундаментальными группами гомотопически эквивалентны, из гипотезы Бореля следует, что асферические замкнутые многообразия определяются, с точностью до гомеоморфизма, своими фундаментальными группами.

• Гипотеза неверна, если топологические многообразия и гомеоморфизмы заменить на гладкие многообразия и диффеоморфизмы; контрпримеры можно построить, рассмотрев связную сумму с экзотической сферой.

Ссылки

• F.T. Farrell, The Borel conjecture. Topology of high-dimensional manifolds, No. 1, 2 (Trieste, 2001), 225—298, ICTP Lect. Notes, 9, Abdus Salam Int. Cent. Theoret. Phys., Trieste, 2002.
• M. Kreck, and W. Lück, The Novikov conjecture. Geometry and algebra. Oberwolfach Seminars, 33. Birkhäuser Verlag, Basel, 2005.
• The birth of the Borel conjecture Архивная копия от 11 июня 2011 на Wayback Machine, Выдержка из письма Бореля Серру, 2 мая 1953.