Теорема о биссектрисе — классическая теорема геометрии треугольника.

Формулировка

править

Биссектриса при вершине треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. То есть, если биссектриса при вершине   треугольника   пересекает сторону   в точке   то

 

Замечания

править
  • То же равенство выполняется и для точки   лежащей на пересечении внешней биссектрисы и продолжении стороны  .

История

править

Теорема о биссектрисе формулируется в шестой книге «Начал Евклида» (предложение III)[1], в частности, на греческом языке в византийском манускрипте[2]. Ранняя цитата по Евклиду этой теоремы в русскоязычных источниках содержится в одном из первых русских учебников геометрии — рукописи начала XVII века «Синодальная №42» (книга 1, часть 2, глава 21).

Доказательства

править

Существует несколько методов доказательства. Например, методом площадей или проведением из другой вершины прямой, параллельной биссектрисе, до ее пересечения с продолжением одной из сторон.

Метод площадей

править

Рассмотрим треугольник ABC. Из вершины A на сторону BC опущена биссектриса AD. Найдем площади треугольников ABD и ACD:

 
Метод площадей

 

С другой стороны,

 

Значит,

 

Через теорему синусов

править

Рассмотрим треугольник ABC с биссектрисой AD. Запишем теорему синусов для треугольников ABD и ACD:

 
Доказательство теоремы о биссектрисе с помощью теоремы синусов

 

 

Но   следовательно,

 

Поделив равенство (1) на равенство (2), получим:

 

Через подобие треугольников

править

Данный способ доказательства основан на продлении биссектрисы до пересечения с ней перпендикуляра, опущенного на нее из одной из вершин.

 
Доказательство теоремы о биссектрисе через подобие треугольников

Рассмотрим треугольник ABC с биссектрисой AD. Опустим перпендикуляры BK и CT на нее и ее продолжение соответственно. Треугольники KBD и TCD подобны по двум углам, значит,

 

Треугольники ABK и ACT тоже подобны по двум углам, значит, справедливо равенство:

 

Отсюда получаем, что  

Вариации и обобщения

править
  • Если D — произвольная точка на стороне BC треугольника ABC, тогда
     
    • В случае, когда AD — биссектриса,  .
  • Биссекторная плоскость двугранного угла в тетраэдре (то есть плоскость, делящая двугранный угол пополам) делит противоположное его ребро на части, пропорциональные площадям граней тетраэдра, являющихся гранями этого двугранного угла[3]:200.

См. также

править

Примечания

править
  1. Эвклидовых начал восемь книг, а именно: первые шесть, 11-я и 12-я, содержащие в себе основания геометрии. / Пер. Ф. Петрушевского. — СПб., 1819. — С. 205. — 480 с. Архивировано 10 июля 2020 года.
  2. Теорема о биссектрисе в византийском манускрипте. Дата обращения: 24 мая 2012. Архивировано 26 мая 2012 года.
  3. Гусятников П.Б., Резниченко С.В. Векторная алгебра в примерах и задачах. — М.: Высшая школа, 1985. — 232 с. Архивировано 10 января 2014 года.

Литература

править