Интегралы Френеля

Интегралы Френеля S(x) и C(x) — это специальные функции, названные в честь Огюстена Жана Френеля и используемые в оптике. Они возникают при расчёте дифракции Френеля и определяются как

S(x) и C(x). Максимальное значение для C(x) примерно равно 0.977451424. Если использовать $\pi t^{2}/2$ вместо $t^{2}$, то график изменит вертикальный и горизонтальный масштаб (см. ниже).

$S(x)=\int \limits _{0}^{x}\sin(t^{2})\,dt,\quad C(x)=\int \limits _{0}^{x}\cos(t^{2})\,dt.$

Параметрический график S(x) и C(x) даёт кривую на плоскости, называемую спиралью Корню или клотоидой.

Разложение в ряд

Нормализованные интегралы Френеля, S(x) и C(x). На этих кривых аргумент подынтегральных тригонометрических функций равен $\pi t^{2}/2$, а не $t^{2}$, как на рисунке выше.

Интегралы Френеля могут быть представлены степенными рядами, сходящимися при всех x:

$S(x)=\int \limits _{0}^{x}\sin(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+3}}{(4n+3)(2n+1)!}}={\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{7}}{42}}+{\frac {x^{11}}{1320}}-\cdots ,$

$C(x)=\int \limits _{0}^{x}\cos(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+1}}{(4n+1)(2n)!}}=x-{\frac {x^{5}}{10}}+{\frac {x^{9}}{216}}-\cdots .$

Некоторые авторы используют в качестве аргумента тригонометрических подынтегральных функций ${\frac {\pi }{2}}t^{2}$. Таким образом определенные интегралы Френеля получаются из определённых выше интегралов заменой переменной $t\to {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}t$ и умножением интегралов на ${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}$.

Спираль Корню

Спираль Корню (x,y)=(C(t), S(t)). Спираль стремится к центрам отверстий при $t\rightarrow \pm \infty$.

Основная статья: Клотоида

Спираль Корню, также известная как клотоида, — это кривая, являющаяся параметрическим графиком S(t) от C(t). Спираль Корню была придумана Мари Альфредом Корню для облегчения расчёта дифракции в прикладных задачах.

Так как

$C\,'(t)^{2}+S\,'(t)^{2}=\sin ^{2}(t^{2})+\cos ^{2}(t^{2})=1,$

то в такой параметризации касательный вектор имеет единичную длину, так что t является длиной кривой, измеряемой от точки (0,0). Следовательно, обе ветви спирали имеют бесконечную длину.

Кривизна этой кривой в любой точке пропорциональна длине дуги, заключённой между этой точкой и началом координат. Благодаря этому свойству она применяется в строительстве дорог, так как угловое ускорение машины, движущейся по этой кривой с постоянной скоростью, будет оставаться постоянным.

Свойства

• $S(x)$ и $C(x)$ — нечётные функции $x$.

• Асимптотики интегралов Френеля при $x\to \infty$ даются формулами

$S(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\frac {{\mbox{sign}}{(x)}}{2}}-{\frac {\cos {(x^{2})}}{x{\sqrt {2\pi }}}}\left[1+O(x^{-4})\right]-{\frac {\sin {(x^{2})}}{x^{3}{\sqrt {8\pi }}}}\left[1+O(x^{-4})\right]\right),$

$C(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\frac {{\mbox{sign}}{(x)}}{2}}+{\frac {\sin {(x^{2})}}{x{\sqrt {2\pi }}}}\left[1+O(x^{-4})\right]-{\frac {\cos {(x^{2})}}{x^{3}{\sqrt {8\pi }}}}\left[1+O(x^{-4})\right]\right).$

• Используя разложение в ряд, можно построить аналитическое продолжение интегралов Френеля на всю комплексную плоскость. Комплексные интегралы Френеля выражаются через функцию ошибок как

$S(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{4}}\left({\sqrt {i}}\,\mathrm {erf} ({\sqrt {i}}\,x)+{\sqrt {-i}}\,\mathrm {erf} ({\sqrt {-i}}\,x)\right)$

$C(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{4}}\left({\sqrt {-i}}\,\mathrm {erf} ({\sqrt {i}}\,x)+{\sqrt {i}}\,\mathrm {erf} ({\sqrt {-i}}\,x)\right)$.

• Интегралы Френеля не выражаются через элементарные функции, кроме частных случаев. Предел этих функций при $x\rightarrow \infty$ равен

$\int \limits _{0}^{\infty }\cos t^{2}\,dt=\int \limits _{0}^{\infty }\sin t^{2}\,dt={\frac {\sqrt {2\pi }}{4}}={\sqrt {\frac {\pi }{8}}}.$

Вычисление

Контур, используемый для вычисления предельного значения интегралов Френеля.

Пределы функций C и S при $x\rightarrow \infty$ могут быть найдены с помощью контурного интегрирования. Для этого берётся контурный интеграл функции

$e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}$

по границе сектора на комплексной плоскости, образованного осью абсцисс, лучом $y=x$, $x\geqslant 0$ и окружностью радиуса R с центром в начале координат.

При $R\rightarrow \infty$ интеграл по дуге стремится к 0, интеграл по вещественной оси стремится к значению интеграла Пуассона

$\int \limits _{0}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}dt={\sqrt {\frac {\pi }{2}}},$

и, после некоторых преобразований, интеграл вдоль оставшегося луча может быть выражен через предельное значение интеграла Френеля.

См. также

• Дифракция Френеля
• Функция Доусона
• Обобщённые интегралы Френеля

Примечания

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. — New York: Dover, 1972. (См. часть 7)  (англ.)

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Fresnel Integrals (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.  (англ.)
• Weisstein, Eric W. Cornu Spiral (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.  (англ.)
• R. Nave, The Cornu spiral, Hyperphysics (2002) (Использует πt²/2 вместо t².)  (англ.)
• Roller Coaster Loop Shapes  (неопр.). Дата обращения: 13 августа 2008. Архивировано 4 марта 2006 года.  (англ.).