Кардинальный синус

Кардина́льный си́нус, sinc (от лат. sinus cardinalis) — математическая функция. Обозначается sinc(x). Имеет два определения — для нормированной и ненормированной функции sinc соответственно:

  1. В цифровой обработке сигналов и теории связи нормированная функция sinc обычно определяется как
  2. В математике ненормированная функция sinc определяется как
Графики нормированной и ненормированной функций sinc(x) в диапазоне −7πx ≤ 7π.

Нормировка функции выполняется из условия:

откуда

для ненормированной функции ():

В обоих случаях значение функции в особой точке x = 0 явным образом задаётся равным единице (см. Замечательные пределы). Таким образом, функция sinc аналитична для любого значения аргумента.

Свойства

править

Нормированная функция sinc обладает следующими свойствами:

  •   и   для всех   и   (целые числа); то есть это интерполянт.
  • Локальные максимум и минимум ненормированной функции sinc находятся в точках, где значения функции sinc совпадают со значениями косинусоиды (точках пересечения графиков sinc и cos) - условие равенства нулю производной   (локальный экстремум в точке  ) выполняется при условии  .
  • Ненормированная функция sinc обращается в ноль при значениях аргумента, кратных π, а нормированная функция sinc — при целых значениях аргумента.
  • Непрерывное преобразование Фурье нормированной функции   (для единичного интервала частот) равно прямоугольной функции  .
 ,
где прямоугольная функция — функция, принимающая значение 1 для любого аргумента из интервала между −½ и ½, и равная нулю при любом другом значении аргумента.
 
 
где   — гамма-функция.

Использование и приложения

править

Обработка сигналов

править

sinc-фильтр — идеальный электронный фильтр, который подавляет все частоты в спектре сигнала выше некоторой частоты среза, оставляя все частоты ниже этой частоты неизменными. В частотной области (АЧХ) представляет собой прямоугольную функцию, а во временно́й области (импульсная характеристика) — sinc-функцию.

См. также

править