Лемма Гордана

Не следует путать с теоремой Гордана.

Лемма Гордана — лемма из области выпуклой геометрии и алгебраической геометрии. У неё есть несколько равносильных формулировок:

• Для выпуклого рационального полиэдрального конуса полугруппа (моноид) точек с целыми координатами, лежащих внутри него, конечно порождена.
• Пусть $A$ — целочисленная матрица. Пусть $M$ — множество неотрицательных целочисленных решений системы $A\cdot x=0$. Тогда существует конечное подмножество $N\subset M$ такое, что каждый элемент $M$ представляется как линейная комбинация векторов из $N$ с целыми неотрицательными коэффициентами.
• Аффинное торическое многообразие является алгебраическим многообразием (см. далее).

Лемма названа в честь математика П. А. Гордана (1837—1912).

Доказательства

Геометрическое доказательство

Пример конуса в двумерном пространстве, порождённого векторами $(1,0)$ и $(1,1)$. Эти же векторы порождают моноид целых точек в конусе.

Пример конуса в двумерном пространстве, порождённого векторами $(1,0)$ и $(1,2)$. Вектор $(1,1)$ не выражается, как целочисленная комбинация этих векторов, но конечный набор $(1,0),(1,1),(1,2)$ порождает моноид целых точек в конусе.

Пусть дан выпуклый рациональный полиэдральный конус $\sigma ^{\vee }$, порождаемый векторами $u_{1},\dots ,u_{r}$ как конус. Пусть $S_{\sigma }$ — полугруппа целых точек в данном конусе, то есть

$S_{\sigma }=\sigma ^{\vee }\cap \mathbb {Z} ^{d},$

где $d$ — размерность пространства, в котором лежит конус $S_{\sigma }$. Тогда произвольную точку $x\in S_{\sigma }$ можно представить в виде

$x=\sum _{i}n_{i}u_{i}+\sum _{i}r_{i}u_{i},$

где неотрицательные коэффициенты при $u_{i}$ разложены в сумму неотрицательного целого $n_{i}$ и дробной части $0\leqslant r_{i}<1$. Но так как $x$ и первая сумма целочисленны, вторая сумма тоже обязана быть вектором целочисленной решётки. При этом вторая сумма находится в ограниченной области, зависящей только от векторов $u_{i}$, но не от вектора $x$, поэтому для неё есть лишь конечное число возможностей. Таким образом, $S_{\sigma }$ конечно порождена.

Алгебраическое доказательство

Доказательство основано на том, что полугруппа $S$ конечно порождена тогда и только тогда, когда её полугрупповая алгебра $\mathbb {C} [S]$ является конечно порождённой алгеброй над $\mathbb {C}$.

Докажем сперва вспомогательную лемму о градуированных алгебрах.

Лемма: Пусть $A$ — нётерово $\mathbb {Z}$-градуированное кольцо. Тогда $A^{+}=\bigoplus \limits _{0}^{\infty }A_{n}$ — конечно-порождённая алгебра над $A_{0}$.

Доказательство леммы: пусть $I=\bigoplus \limits _{i=1}^{\infty }A_{i}$ — идеал в $A$, порождённый всеми однородными элементами положительной степени. В силу нётеровости $A$ идеал $I$ порождён конечным числом однородных элементов положительной степени $f_{i}$. Пусть максимальная из степеней элементов $f_{i}$ равна $d$. Если $f$ — однородный элемент положительной степени, которая больше степеней всех $f_{i}$, то он представляется в виде ${\textstyle f=\sum _{i}g_{i}f_{i}}$. Можно от каждого $g_{i}$ рассмотреть только однородную компоненту степени $\operatorname {deg} f-\operatorname {deg} f_{i}$, получив равенство ${\textstyle f=\sum _{i}{\overline {g}}_{i}f_{i}}$, где ${\overline {g}}_{i}$ — однородные элементы положительной степени, причём эта степень будет строго меньше $\operatorname {deg} f$. Таким образом, применив индукцию по степени $f$, легко видеть, что $A^{+}$ порождается $\bigoplus \limits _{i=0}^{d}A_{d}$ как $A_{0}$-алгебра. Осталось показать, что $\bigoplus \limits _{i=0}^{d}A_{d}$ конечно порождена как $A_{0}$-алгебра, для чего достаточно показать, что каждый $A_{i}$ — конечно-порождённый $A_{0}$-модуль. Действительно, пусть дана возрастающая цепочка вложенных конечно-порождённых подмодулей $N_{j}$ в $A_{i}$, объединение которой равно всему $A_{i}$. Можно рассмотреть цепочку идеалов $N_{j}A$. По нётеровости $A$ она стабилизируется на некотором шаге, значит стабилизируется и $N_{j}=N_{j}A\cap A_{i}$.

Теперь докажем, что для любого подмоноида $S\subset \mathbb {Z} ^{d}$ выполнено следующее утверждение:

Если $S$ конечно порождён (как моноид), то и для произвольного целочисленного вектора $v$, лежащего в двойственной решётке к решётке, в которой лежит моноид, подмоноид $S^{+}=S\cap \{x\mid \langle x,v\rangle \geqslant 0\}$ также конечно порождён.

Действительно, рассмотрим алгебру $A=\mathbb {C} [S]$, пусть её базис есть $\chi ^{a},\,a\in S$. На ней можно ввести $\mathbb {Z}$-градуировку:

$A_{n}=\operatorname {span} \{\chi ^{a}\mid a\in S,\langle a,v\rangle =n\}$.

По предположению $A$ конечно порождена, а значит нётерова. Тогда из доказанной леммы следует, что $\mathbb {C} [S^{+}]=\bigoplus \limits _{0}^{\infty }A_{n}$ — конечно порождённая алгебра над $A_{0}$. Полугруппа $S_{0}=S\cap \{x\mid \langle x,v\rangle =0\}$ лежит в подпространстве меньшей размерности, поэтому можно считать при помощи индукции по размерности, что она тоже конечно порождена, а значит и алгебра $A_{0}=\mathbb {C} [S_{0}]$ конечно порождена. Таким образом, $S^{+}$ конечно порождён.

Наконец, из доказанного утверждения следует лемма Гордана. Действительно, можно рассмотреть в качестве $S$ всю целочисленную решётку и применять лемму к каждой гиперплоскости, задающей грань максимальной размерности полиэдрального конуса, пока не останется моноид целочисленных точек внутри конуса.

Применения

Аффинные торические многообразия

В стандартном определении аффинного торического многообразия по решётке $M$ и выпуклому рациональному полиэдральному конусу $\sigma ^{\vee }$ в пространстве, соответствующем решётке, строится полугруппа $\sigma ^{\vee }\cap M$, по ней алгебра $\mathbb {C} [\sigma ^{\vee }\cap M]$ и рассматривается её спектр. Из леммы Гордана следует корректность этого определения: полученная алгебра конечно порождена, то есть действительно задаёт аффинное многообразие как свой спектр.

Максимальная степень неразложимого мультигиперграфа

Мультигиперграф с множеством вершин $V$ — это мультимножество подмножеств $V$. Мультигиперграф называется регулярным, если у всех вершин одинаковая степень. Мультигиперграф $(V,E)$ называется разложимым, если у него можно выбрать собственное непустое подмультимножество рёбер $F\subset E$ так, что мультигиперграф $(V,F)$ тоже регулярен для некоторой степени $k<n$. Для натурального $n$ обозначим через $D(n)$ максимальную степень неразложимого мультигиперграфа на $n$ вершинах. Из леммы Гордана следует, что $D(n)$ конечно.

Доказательство: для каждого подмножества вершин $S$ определим переменную $x_{S}$ (принимающую неотрицательные целые значения). Добавим также ещё одну переменную $d$ (тоже принимающую неотрицательные целые значения). Рассмотрим набор из $n$ уравнений (по одному уравнению на каждую вершину):

$\forall v\in V\colon \sum _{S\ni v}x_{S}-d=0$

Каждое решение $(\mathbf {x} ,d)$ задаёт регулярный мультигиперграф с множеством вершин $V$: $\mathbf {x}$ задаёт кратности соответствующих гиперрёбер, а $d$ задаёт степень вершин. По лемме Гордана множество решений порождается конечным набором решений, то есть существует конечный набор $M$ мультигиперграфов таких, что каждый регулярный мультигиперграф — это линейная комбинация некоторых элементов $M$. Все неразложимые мультигиперграфы должны лежать в $M$, то есть их множество конечно.

Литература

• David A. Cox, John B. Little, Hal Schenck. Toric varieties (англ.). — American Mathematical Soc., 2011. — P. 841. — (Graduate studies in mathematics). — ISBN 9780821848197.
• Winfried Bruns, Joseph Gubeladze. Polytopes, rings, and K-theory (англ.). — Springer, 2009. — (Springer Monographs in Mathematics). — doi:10.1007/b105283.