Ле́мма Шу́ра — утверждение, являющееся одним из основных при построении теории представлений групп.

Формулировка леммыПравить

Представление группы   автоморфизмами некоторого векторного пространства     называется неприводимым, если не существует никакого инвариантного относительно   подпространства отличного от 0 и самого  .

Лемма Шура: Пусть   — линейное отображение векторных пространств   над некоторым полем   такое, что существуют два неприводимых представления   и  , такие, что   для всех  . Тогда:

1)Если   не является изоморфизмом, то   — нулевое отображение.

2)Если   конечномерны над алгебраически замкнутым полем   и  , то   является умножением на некоторый элемент поля  .

ДоказательствоПравить

Основой доказательства служит следующее общее утверждение, которое часто тоже называют «леммой Шура»:

Пусть   и   модули, являющиеся простыми (то есть не имеющие подмодулей, отличных от нулевого и самого себя). Тогда любой гомоморфизм   является либо нулевым, либо изоморфизмом на  .

В самом деле, так как   и   являются подмодулями, то если   ненулевой гомоморфизм, имеем  , а  , то есть   — изоморфизм на весь модуль  .

Теперь определим групповое кольцо  . Элементами этого кольца будут линейные комбинации  . Умножение определяется   и далее по линейности. Ясно, что   кольцо. На пространстве   определим умножение элемента из   на элемент  :  . Тем самым мы превращаем   в модуль над кольцом  . Проверка аксиом модуля тривиальна, т.к.   является представлением.   аналогично, заменяя   на  , будет модулем над  , а равенство   то, что отображение   является гомоморфизмом модулей. Так как   и   неприводимы, а это означает простоту   и   как модулей над  , то первая часть леммы доказана.

Для доказательства второй части используем известное утверждение линейной алгебры о существовании собственного вектора   для конечномерного пространства над алгебраически замкнутым полем, соответствующего собственному значению  ,  . Для любого элемента   имеем  , причём для собственного вектора   следовательно   по первой части леммы является нулевым гомоморфизмом, а значит,   является умножением на некоторое  .

ЛитератураПравить

  • Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть III. Основные структуры. — 3-е изд.. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.
  • Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1967.
  • Серр Ж.-П. Линейные представления конечных групп. — М.: Мир, 1969.