Мера Малера

Мера Малера $M(p)$ для многочлена $p(z)$ с комплексными коэффициентами определяется как

$M(p)=|a|\prod _{|\alpha _{i}|\geq 1}|\alpha _{i}|=|a|\prod _{i=1}^{n}\max\{1,|\alpha _{i}|\},$

где $p(z)$ разлагается в поле комплексных чисел $\mathbb {C}$ на множители

$p(z)=a(z-\alpha _{1})(z-\alpha _{2})\cdots (z-\alpha _{n}).$

Меру Малера можно рассматривать как вид функции высоты. Используя формулу Йенсена, можно показать, что эта мера эквивалентна среднему геометрическому чисел $|p(z)|$ для $z$ на единичной окружности (т.е. $|z|=1$):

$M(p)={\color {Green}\exp }\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\color {Green}\ln }(|p(e^{i\theta })|)\,d\theta \right).$

В более широком смысле мера Малера для алгебраического числа $\alpha$ определяется как мера Малера минимального многочлена от $\alpha$ над $\mathbb {Q}$. В частности, если $\alpha$ является числом Пизо или числом Салема, то мера Малера равна просто $\alpha$.

Мера Малера названа в честь математика Курта Малера.

Свойства

• Мера Малера является мультипликативной: $\forall p,q,\,\,M(p\cdot q)=M(p)\cdot M(q),$ где $\forall$ — квантор всеобщности.
• $M(p)=\lim _{\tau \rightarrow 0}\|p\|_{\tau }$, где среднее степенное $\|p\|_{\tau }=\left({\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|p(e^{i\theta })|^{\tau }\,d\theta \right)^{1/\tau }$ является нормой $L_{\tau }$ для многочлена $p$ .
• (Теорема Кронекера) Если $p$ является неприводимым нормированным (старший коэффициент — 1) целочисленным многочленом с $M(p)=1$, то либо $p(z)=z$, либо $p$ является круговым многочленом.
• (Гипотеза Лемера) Если существует константа $\mu >1$, такая, что если $p$ является неприводимым целочисленным многочленом, то либо $M(p)=1$, либо $M(p)>\mu$.
• Мера Малера нормированного целого многочлена является числом Перрона.

Мера Малера от нескольких переменных

Мера Малера $M(p)$ для многочлена с несколькими переменными $p(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]$ определяется аналогичной формулой.

$M(p)=\exp \left({\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{2\pi }\cdots \int _{0}^{2\pi }\log {\Bigl (}{\bigl |}p(e^{i\theta _{1}},e^{i\theta _{2}},\ldots ,e^{i\theta _{n}}){\bigr |}{\Bigr )}\,d\theta _{1}\,d\theta _{2}\cdots d\theta _{n}\right).$

Эта мера сохраняет все три свойства меры Малера для многочлена от одной переменной.

Было показано, что в некоторых случаях мера Малера от нескольких переменных связана со специальными значениями дзета-функций и $L$-функций. Например, в 1981 Смит доказал формулы

$m(1+x+y)={\frac {3{\sqrt {3}}}{4\pi }}L(\chi _{-3},2),$

где $L(\chi _{-3},s)$ является L-функцией Дирихле, и

$m(1+x+y+z)={\frac {7}{2\pi ^{2}}}\zeta (3)$ ,

где $\zeta$ является дзета-функцией Римана. Здесь $m(P)=\log {M(P)}$ называется логарифмической мерой Малера.

Теорема Лоутона

По определению мера Малера рассматривается как интеграл многочлена по тору (см. гипотезу Лемера). Если $p$ обращается в ноль на торе $(S^{1})^{n}$, то сходимость интеграла, определяющего $M(p)$, не очевидна, но известно, что $M(p)$ сходится и равно пределу меры Малера от одной переменной, что было высказано в виде гипотезы Бойдом.

Пусть $\mathbb {Z}$ обозначает целые числа, определим $\mathbb {Z} _{+}^{N}=\{r=(r_{1},\dots ,r_{N})\in \mathbb {Z} ^{N}:r_{j}\geq 0\ {\text{for}}\ 1\leq j\leq N\}$. Если $Q(z_{1},\dots ,z_{N})$ является многочленом от $N$ переменных и $r=(r_{1},\dots ,r_{N})\in \mathbb {Z} _{+}^{N}$, то пусть многочлен $Q_{r}(z)$ от одной переменной определяется как

$Q_{r}(z):=Q(z^{r_{1}},\dots ,z^{r_{N}}),$

а $q(r)$ — как

$q(r):={\text{min}}\{H(s):s=(s_{1},\dots ,s_{N})\in \mathbb {Z} ^{N},s\neq (0,\dots ,0)\ {\text{and}}\ \sum _{j=1}^{N}s_{j}r_{j}=0\}$,

где $H(s)={\text{max}}\{|s_{j}|:1\leq j\leq N\}$.

Теорема (Лоутона): пусть $Q(z_{1},\dots ,z_{N})$ является многочленом от N переменных с комплексными коэффициентами — тогда верен следующий предел (даже если нарушить условие $r_{i}\geq 0$):

$\lim _{q(r)\rightarrow \infty }M(Q_{r})=M(Q)$

Предложение Бойда

Бойд предложил утверждение, более общее, чем вышеприведённая теорема. Он указал на то, что классическая теорема Кронекера, которая характеризует нормированные многочлены с целыми коэффициентами, корни которых лежат внутри единичного круга, может рассматриваться как описание многочленов одной переменной, мера Малера для которых в точности равна 1, и на то, что этот результат можно распространить на многочлены нескольких переменных.

Пусть расширенный круговой многочлен будет определяться как многочлен вида

$\Psi (z)=z_{1}^{b_{1}}\dots z_{n}^{b_{n}}\Phi _{m}(z_{1}^{v_{1}}\dots z_{n}^{v_{n}}),$

где $\Phi _{m}(z)$ — круговой многочлен степени m, $v_{i}$ — целые числа, а $b_{i}=\max(0,-v_{i}\deg \Phi _{m})$ выбран минимальным, так что $\Psi (z)$ является многочленом от $z_{i}$. Пусть $K_{n}$ — множество многочленов, являющихся произведением одночленов $\pm z_{1}^{c_{1}}\dots z_{n}^{c_{n}}$ и расширенного кругового многочлена. Тогда получается следующая теорема.

Теорема (Бойда): пусть $F(z_{1},\dots ,z_{n})\in \mathbb {Z} [z_{1},\ldots ,z_{n}]$ является многочленом с целыми коэффициентами — тогда $M(F)=1,$ только когда $F$ является элементом $K_{n}$.

Это натолкнуло Бойда на мысль рассмотреть следующие множества:

$L_{n}:={\bigl \{}m(P(z_{1},\dots ,z_{n})):P\in \mathbb {Z} [z_{1},\dots ,z_{n}]{\bigr \}},$

и объединение ${L}_{\infty }=\bigcup _{n=1}^{\infty }L_{n}$. Он выдвинул более «продвинутую» гипотезу, что множество ${L}_{\infty }$ является замкнутым подмножеством $\mathbb {R}$. Из верности этой гипотезы немедленно следует верность гипотезы Лемера, хотя и без явной нижней границы. Поскольку из результата Смита^{[прояснить]} вытекает, что $L_{1}\subsetneqq L_{2}$, Бойд позже высказал гипотезу, что

$L_{1}\subsetneqq L_{2}\subsetneqq L_{3}\subsetneqq \ \cdots \,.$

См. также

• Норма Бомбиери
• Высота многочлена

Ссылки

• Mahler Measure on MathWorld
• Jensen's Formula on MathWorld