Открыть главное меню

Неопределённый интегра́л для функции  — это совокупность всех первообразных данной функции[1].

Если функция определена и непрерывна на промежутке и  — её первообразная, то есть при , то

,

где С — произвольная постоянная.

Основные свойства неопределённого интеграла приведены ниже.

Если , то и , где  — произвольная функция, имеющая непрерывную производную

Подведение под знак дифференциалаПравить

При подведении под знак дифференциала используются следующие свойства:

 
 
 

Основные методы интегрированияПравить

Основная статья: Методы интегрирования

1. Метод введения нового аргумента. Если

 

то

 

где   — непрерывно дифференцируемая функция.

2. Метод разложения. Если

 

то

 

3. Метод подстановки. Если   — непрерывна, то, полагая

 

где   непрерывна вместе со своей производной  , получим

 

4. Метод интегрирования по частям. Если   и   — некоторые дифференцируемые функции от  , то

 

Таблица основных неопределённых интеграловПравить

 
 
   
 
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 

Слева в каждом равенстве стоит произвольная (но определённая) первообразная функция для соответствующей подынтегральной функции, справа же — одна определённая первообразная, к которой ещё прибавляется константа   такая, чтобы выполнялось равенство между этими функциями.

Первообразные функции в этих формулах определены и непрерывны на тех интервалах, на которых определены и непрерывны соответствующие подынтегральные функции. Эта закономерность не случайна: как отмечено выше, всякая непрерывная на интервале функция имеет на нем непрерывную первообразную.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.

ЛитератураПравить

  • Никольский С. М. Глава 9. Определенный интеграл Римана // Курс математического анализа. — 1990. — Т. 1.
  • Ильин В. А., Позняк, Э. Г. Глава 6. Неопределенный интеграл // Основы математического анализа. — 1998. — Т. 1. — (Курс высшей математики и математической физики).
  • Демидович Б.П. Отдел 3. Неопределенный интеграл // Сборник задач и упражнений по математическому анализу. — 1990. — (Курс высшей математики и математической физики).

СсылкиПравить