Нормальные координаты

Нормальные координаты — локальная система координат в окрестности точки риманова многообразия (или, более общо, многообразия с аффинной связностью) полученная из координат на касательном пространстве в данной точке применением экспоненциального отображения.

В базовой точке нормальной системы координат символы Кристоффеля обнуляются; это часто упрощает вычисления.

Построение

Пусть $M$ есть гладкое многообразие с аффинной связностью и $\exp _{p}\colon T_{p}\to M$ есть соответствующее экспоненциальное отображение. Тогда нормальные координаты точки $x=\exp _{p}v$ считаются равными координатам вектора $v$ в касательном пространстве $T_{p}$.

Выбор последних координат произволен, в частности для риманова многообразия можно предположить, что координаты прямоугольные.

Замечания

• Нормальные координаты определены в пределах радиуса инъективности базовой точки $p$.

Свойства

• Символы Кристоффеля обнуляются вбазовой точек нормальных координат.

• Лемма Гаусса утверждает, что малые координатные сферы с центром в начале координат являются метрическими сферами и они остаются перпендикулярными геодезическим исходящим из базовой точки.

• Компоненты тензора кривизны однозначно определяет многочлен Тейлора степени два метрического тензора, записанного в нормальных координатах. А именно:

$g_{ij}(x)=\delta _{ij}-{\tfrac {1}{3}}\cdot R_{iklj}\cdot x^{k}\cdot x^{l}+o(|x|^{2}).$

Вариации и обобщения

• Нормальные координаты естественно обобщаются на финслеровые многообразия. Поскольку экспоненциальное отображение на финслеровых многообразия не является дважды дифференцируемым в нуле, нормальные координаты финслерова многообразия также не гладки в нуле.