Открыть главное меню

Экспоненциальное отображение

Пробраз поверхности Земли при экспоненциальном отображении к северному плюсу.

Экспоненциальное отображение — далеко идущее обобщение экспоненциальной функции в римановой геометрии.

Для риманова многообразия экспоненциальное отображение действует из касательного расслоения в само многообразие .

Экспоненциальное отображение обычно обозначается , а его сужение на касательное пространство в точке обозначается и назывется экспоненциальным отображением в точке .

ОпределениеПравить

Пусть  риманово многообразие и  . Для каждого вектора   существует единственная геодезическая  , выходящая из точки   (то есть  ), такая что  .

Экспоненциальное отображение вектора   есть точка  , или  .

СвойстваПравить

  •  .
  • Для каждой точки   существует такое число  , что экспоненциальное отображение   определено для всех векторов  , удовлетворяющих условию  .
    • Более того,   является диффеоморфизмом некоторой окрестности нуля в касательном пространстве   в некоторую окрестность точки   многообразия  . Таким образом, в некоторой окрестности точки   многообразия   определено обратное экспоненциальное отображение (называемое логарифмом и обозначаемое  ), действующее в некоторую окрестность нуля касательного пространства  .
  • Дифференциал экспоненциального отображения в любой точке   является тождественным линейным оператором. То есть
     
для любого  . Здесь мы отождествляем пространство, касательное к  , с ним самим.
  • (Лемма Гаусса о геодезических) Для любых  
     
где   обозначает дифференциал экспоненциального отображения.
  • Для групп Ли с би-инвариантной метрикой экспоненциальное отображение совпадает с обычной теоретико-групповой экспонентой.

СсылкиПравить

ЛитератураПравить

  • Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко. Современная геометрия. — Любое издание.
  • А.С. Мищенко, А.Т. Фоменко. Курс дифференциальной геометрии и топологии. — Любое издание.
  • М.М. Постников. Вариационная теория геодезических. — Любое издание.