Теорема Хопфа — Ринова

Теорема Хопфа — Ринова — теорема дифференциальной геометрии, доказанная Хайнцем Хопфом и его учеником Вилли Риновым. Опубликована последним в 1931 году[1].

ФормулировкаПравить

Для линейно связного риманова многообразия   следующие утверждения эквивалентны:

СледствияПравить

  • Любые две точки   и   в линейно связном полном римановом многообразии можно соединить геодезической длины равной расстоянию между   и  ;
  • Любая геодезическая в линейно связном полном римановом многообразии продолжается неограниченно.

Вариации и обобщенияПравить

ПримечанияПравить

  1. Hopf, H.; Rinow, W. Ueber den Begriff der vollständigen differentialgeometrischen Fläche (нем.) // [Commentarii Mathematici Helvetici : magazin. — 1931. — Bd. 3, Nr. 1. — S. 209—225. — doi:10.1007/BF01601813.
  2. Menger, Karl. "Untersuchungen über allgemeine Metrik." Mathematische Annalen 100 (1925); 105 (1930).
  3. Бураго Д.Ю., Бураго Ю.Д., Иванов С.В. Курс метрической геометрии. — 2004. — ISBN 5-93972-300-4. теорема 2.5.28.
  4. Cohn-Vossen, Stefan. "Existenz kürzester Wege." Compositio Mathematica 3 (1936): 441-452; переводено в Кон-Фоссен, С. Э. "О существовании кратчайших путей." Некоторые вопросы дифференциальной геометрии в целом. М.: Физматгиз (1959): 288-303.
  5. Atkin, C. J. (1975), The Hopf–Rinow theorem is false in infinite dimensions, The Bulletin of the London Mathematical Society Т. 7 (3): 261–266, doi:10.1112/blms/7.3.261, <http://blms.oxfordjournals.org/cgi/reprint/7/3/261.pdf> .
  6. O'Neill, Barrett (1983), Semi-Riemannian Geometry With Applications to Relativity, vol. 103, Pure and Applied Mathematics, Academic Press, с. 193, ISBN 9780080570570, <https://books.google.com/books?id=CGk1eRSjFIIC&pg=PA193> .

ЛитератураПравить