Операда

Операда даёт общий подход к описанию таких свойств, как коммутативность или антикоммутативность, а также различные вариации ассоциативности. Отношение алгебры и операды похожи на отношение представлений групп и групп.

Определение

Операда (клон полилинейных операций) — семейство множеств $\{R_{n},\;n\geqslant 1\}$ с левым действием симметрических групп $S_{n}$ на соответствующих $R_{n}$ и с операциями композиции:

$R_{n_{1}}\times \ldots \times R_{n_{m}}\times R_{m}\to R_{n_{1}+\ldots +n_{m}}:(r_{1},\;\ldots ,\;r_{m},\;r)\to r_{1}\ldots r_{m}r,$

удовлетворяющими обобщённым тождествам ассоциативности:

$(r_{11}r_{21}\ldots r_{k_{1}1}r_{1})\ldots (r_{1m}r_{2m}\ldots r_{k_{m}m}r_{m})r=(r_{11}r_{21}\ldots r_{k_{1}1}\ldots r_{1m}r_{2m}\ldots r_{k_{m}m})(r_{1}\ldots r_{m}r)$

и наличию единицы $\varepsilon \in R_{1}:(\varepsilon \ldots \varepsilon )r=r,\quad r\varepsilon =r$.

Операда называется линейной, если $R_{n}$ являются пространствами, действия симметрических групп $S_{n}$ являются представлениями, а композиции полилинейны.

Алгебра над линейной операдой — это пространство $A$ c полилинейными операциями композиции:

$A^{\otimes n}\otimes _{S_{n}}R_{n}\to A:a_{1}\otimes \ldots \otimes a_{n}\otimes r\to a_{1}\ldots a_{n}r$

со свойствами унитарности $a\varepsilon =a$ и обобщённой ассоциативности:

$(a_{11}a_{21}\ldots a_{k_{1}1}r_{1})\ldots (a_{1m}a_{2m}\ldots a_{k_{m}m}r_{m})r=(a_{11}a_{21}\ldots a_{k_{1}1}\ldots a_{1m}a_{2m}\ldots a_{k_{m}m})(r_{1}\ldots r_{m}r).$

Примеры

Операдные конструкции описывают множество алгебраических систем, топологических, комбинаторных объектов.

• Простейшей операдой является ассоциативное кольцо $R$ с единицей: $R_{1}=R,\quad R_{>1}=\{0\}$. Алгебра над ней — это правый $R$-модуль.
• Структуру линейной операды можно определить на семействе групповых алгебр над симметрическими группами $\{k(S_{n}),\;n\geqslant 1\}$, а также и на $\{k(G^{n}),\;n\geqslant 1\}$, где $G$ — моноид.

История

Алгебры над операдами, без явного определения этих понятий, были впервые по существу использованы американским математиком Джеймсом Сташефом в статье 1963 года. Композиционные комплексы были введены американским математиком Мюрреем Герстенхабером в статье 1968 года. Клоны полилинейных операций и мультиоператорные алгебры были введены советским алгебраистом В. А. Артамоновым в статье 1969 года. Немного позднее родственное понятие операд и алгебр над ними было открыто американским топологом Дж. Питером Мэем. С тех пор западные учёные считают изобретателем операд Питера Мэя. Примерно в то же самое время американский тополог Майкл Бордман и немецкий тополог Райнер Фогт написали труд, считающийся классическим в теории операд, используя вместо этого названия ПРОПы Маклейна и алгебраические теории Ловера.

Литература

• Stasheff J. D. Homotopy Associativity of H-Spaces. I // Transactions of the American Mathematical Society. — 1963. — vol. 108. — No. 2. — pp. 275—292.
• Gerstenhaber M. On the deformations of rings and algebras:III // Annals of Mathematics, Second Series. — 1968. — vol. 88. — No. 1. — pp. 1—34.
• Артамонов В. А. Клоны полилинейных операций и мультиоператорные алгебры // УМН. — 1969. — т. 24. — № 1. — с. 47—59.
• May J. P. The geometry of iterated loop spaces // Lecture Notes in Mathematics. — vol. 271. — Berlin: Springer-Verlag, 1972. — 175 p.
• Boardman J. M.; Vogt R. M. Homotopy Invariant Algebraic Structures on Topological Spaces // Lecture Notes in Mathematics. — vol. 347. — Berlin: Springer-Verlag, 1973.