Первая и вторая теоремы Хелли

Между функциями распределения и множеством их характеристических функций существует взаимно однозначное соответствие.

В том числе теоремы Хелли показывают, что это соответствие не только взаимно однозначное, но и взаимно непрерывное.

Первая и вторая теоремы ХеллиПравить

Первая теорема ХеллиПравить

Из всякой последовательности функций распределения   можно выбрать слабо сходящуюся подпоследовательность.

Вторая теорема ХеллиПравить

Если   — непрерывная ограниченная функция на прямой и   то

 

Доказательство первой теоремы ХеллиПравить

Пусть   — всюду плотное на прямой счетное множество.

Из ограниченной последовательности   выбираем сходящуюся подпоследовательность  , предел которой обозначим  

Из ограниченной последовательности   выбираем сходящуюся подпоследовательность   и т. д.

Далее выбираем диагональную подпоследовательность  , для которой   для любой точки  

По лемме отсюда вытекает  

ЛеммаПравить

Если   на всюду плотном на прямой множестве  , то  

ЗамечаниеПравить

  может не быть функцией распределения. Например, если   при   и   при   то  

Доказательство второй теоремы ХеллиПравить

Пусть   — точки непрерывности  .Докажем сначала, что

 .

Пусть  . Разделим   точками непрерывности   функции   на такие отрезки  , что   для точек  .

Это сделать можно, так как   равномерно непрерывна на  , а точки непрерывности   расположены всюду плотно.

Определим ступенчатую функцию.

  на  .

Тогда

 
 

где  .

При   последнее слагаемое может быть сделано как угодно малым, откуда и следует

 

Для доказательства

 

выберем   таким, чтобы   и   и чтобы точки   были точками непрерывности  

Тогда, так как   можно выбрать   таким, что при   и  

Оценим разность

 
 

На основании   заключаем, что правая часть

 
 

может быть сделана сколь угодно малой, что и доказывает теорему.

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

  • Севастьянов В.А. Курс теории вероятностей и математической статистики. — 1982. — 254 с.