Покрытие множества

(перенаправлено с «Подпокрытие»)

Покры́тие в математике — семейство множеств, таких, что их объединение содержит заданное множество.

Обычно покрытия рассматривается в общей топологии, где наибольший интерес представляют открытые покрытия — семейства открытых множеств. В комбинаторной геометрии важную роль играют покрытия выпуклыми множествами[1].

ОпределенияПравить

  • Пусть дано множество  . Семейство множеств   называется покрытием  , если
 
  • Пусть дано топологическое пространство  , где   — произвольное множество, а   — определённая на   топология. Тогда семейство открытых множеств   называется открытым покрытием множества  , если
 

Связанные определенияПравить

  • Если   — покрытие множества  , то любое подмножество  , также являющееся покрытием  , называется подпокры́тием.
  • Если каждый элемент одного покрытия является подмножеством какого-либо элемента второго покрытия, то говорят, что первое покрытие впи́сано во второе. Более точно, покрытие   вписано в покрытие  , если
  такое, что  
  • Покрытие   множества   называется лока́льно коне́чным, если для каждой точки   существует окрестность  , пересекающаяся лишь с конечным числом элементов  , то есть множество   конечно.
  • Покрытие   множества   называется фундамента́льным, если всякое множество, пересечение которого с каждым множеством   открыто в  , открыто и в  .
  •   называется компактным, если любое его открытое покрытие содержит конечное подпокрытие;
  •   называется паракомпактным, если в любое его открытое покрытие можно вписать локально конечное открытое покрытие.

СвойстваПравить

  • Любое подпокрытие вписано в изначальное покрытие. Обратное, вообще говоря, неверно.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Покрытие множества — статья из Математической энциклопедии. А. В. Архангельский, П. С. Солтан