Семейство (математика)

Семейство или индексированное семейство — некоторая совокупность объектов, каждый из которых ассоциирован с индексом из некоторого индексного множества. Более формально, индексированное семейство представляет собой некоторую математическую функцию вместе с её областью определения и областью значений . Множество в таких обозначениях называется индексным (или просто индексом), а  — индексированным множествами семейства.

ОпределениеПравить

Пусть   и   — некоторые множества, а   — сюръективная функция

 

Такое описание задаёт семейство элементов   индексированное множеством  , что также обозначается как   или просто  . Индексное множество при этом не обязано быть счётным.

ПримерыПравить

Индексная нотацияПравить

При использовании индексной нотации индексированные элементы образуют семейство. Например, в следующем высказывании:

  • Векторы   линейно независимы.

Неявно вводится семейство векторов  . При этом важно, что речь идёт именно о семействе, а не о множестве, так как множества не упорядочены и говорить об  -м элементе множества было бы бессмысленно без заданной индексации. Кроме того, линейная независимость это свойство всей совокупности объектов, поэтому важно, что речь идёт именно о семействе, а не множестве векторов.

МатрицыПравить

В следующем высказывании:

Как и в предыдущем высказывании, строки матрицы рассматриваются именно как семейство, а не как множества. Например, для следующей матрицы:

 

Множество её строк состоит из единственного элемента   и является линейно независимым, но матрица вырождена. В то же время семейство строк содержит два элемента и является линейно зависимым.

Прочие примерыПравить

Пусть через   обозначается конечное множество  , где   — положительное целое число.

Операции над семействамиПравить

Индексированные множества часто используются в суммах и подобных операциях. Например, если   — это семейство чисел, то сумма всех таких чисел обозначается как

 

Если   — семейство множеств, то объединение всех элементов семейства обозначается как

 

Аналогичным образом могут быть записаны пересечения и декартовы произведения всех элементов семейства.

В теории категорийПравить

Аналогом семейства в теории категорий являются диаграммы. Диаграмма — это функтор, определяющий семейство объектов категории  , индексированное некоторой другой категорией  , который также индексирует морфизмы категории.

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

  • Mathematical Society of Japan, Encyclopedic Dictionary of Mathematics, 2nd edition, 2 vols., Kiyosi Itô (ed.), MIT Press, Cambridge, MA, 1993. Cited as EDM (volume).