Многочлены Цернике

(перенаправлено с «Полиномы Цернике»)

Многочлены Цернике — последовательность многочленов, которые являются ортогональными на единичном круге. Названы в честь лауреата Нобелевской премии, оптика и изобретателя фазово-контрастного микроскопа Фрица Цернике. Они играют важную роль в оптике[1].

Графики значений в единичном круге.

ОпределенияПравить

Есть чётные и нечётные многочлены Цернике. Чётные многочлены определены как

 ,

а нечётные как

 ,

где m и n — неотрицательные целые числа, такие что nm, φазимутальный угол, а ρ — радиальное расстояние,  . Многочлены Цернике ограничены в диапазоне от −1 до +1, т.е.  .

Радиальные многочлены   определяются как

 

для чётных значений nm , и тождественно равны нулю для нечётных nm .

Другие представленияПравить

Переписав дробь с факториалами в радиальной части в виде произведения биномиальных коэффициентов, можно показать, что коэффициенты при степенях   суть целые числа:

 .

Для выявления рекуррентностей, для демонстрации того факта, что эти многочлены являются частным случаем многочленов Якоби, для записи дифференциальных уравнений и т.д., используется запись в виде гипергеометрических функций:

 

для четных значений nm.

СвойстваПравить

ОртогональностьПравить

Ортогональность в радиальной части записывается равенством

 

Ортогональность в угловой части представляется набором равенств

 
 
 

где параметр   (его иногда называют множителем Неймана) полагают равным 2, если  , и равным 1, если  . Произведение угловой и радиальной частей устанавливает ортогональность функций Цернике по обеим переменным при интегрировании по единичному кругу:

 

где  якобиан полярной системы координат, а оба числа   и   — четные.

ПримерыПравить

Радиальные многочленыПравить

Ниже представлены несколько первых радиальных многочленов.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Zernike, F. Beugungstheorie des Schneidenverfahrens und Seiner Verbesserten Form, der Phasenkontrastmethode (нем.) // Physica I  (англ.) : magazin. — 1934. — Bd. 8. — S. 689—704.