Постоя́нная Га́усса (обозначение — G) — математическая константа, которая определяется как величина, обратная среднему арифметико-геометрическому от единицы и квадратного корня из 2:
- (последовательность A014549 в OEIS)
Константа названа в честь Карла Фридриха Гаусса, который в 1799[1] году обнаружил, что
чтобы
где Β обозначает бета-функцию.
Связь с другими константами
править
Постоянная Гаусса может использоваться для выражения гамма-функции при аргументе :
-
В качестве альтернативы,
-
а поскольку и алгебраически независимы, постоянная Гаусса трансцендентна.
Константу Гаусса можно использовать при определении констант лемнискаты.
Гаусс и другие используют[2][3] эквивалент
-
которая является константой лемнискаты, известной в теории лемнискатических функций.
Однако Джон Тодд использует другую терминологию — в своей статье числа и называются константами лемнискаты, первая из которых
-
и вторая константа:
-
Они возникают при нахождении длины дуги лемнискаты. и Теодор Шнайдер доказал их трансцендентность в 1937 и 1941 годах соответственно.[4]
Формула, выражающая G через тета-функции Якоби, выглядит следующим образом:
-
Также существуют представление в виде ряда с быстрой сходимостью, например следующий:
-
Константу также можно выразить бесконечным произведением
-
Эта константа появляется при оценке интегралов
-
-
Представление константы в виде непрерывной дроби:
- (последовательность A053002 в OEIS)
- ↑ Nielsen, Mikkel Slot. Undergraduate convexity : problems and solutions. — July 2016. — P. 162. — ISBN 9789813146211.
- ↑ Kobayashi, Hiroyuki; Takeuchi, Shingo (2019), Applications of generalized trigonometric functions with two parameters, arXiv:1903.07407
- ↑ Asai, Tetsuya (2007), Elliptic Gauss Sums and Hecke L-values at s=1, arXiv:0707.3711
- ↑ Todd, John The lemniscate constants (неопр.). ACM DL (1975). Дата обращения: 19 июля 2021. Архивировано 19 июля 2021 года.