Электромагнитный потенциал

В современной физике электромагни́тный потенциа́л обычно означает четырёхмерный потенциал электромагнитного поля, являющийся 4-вектором (1-формой). Именно в связи с векторным (4-векторным) характером электромагнитного потенциала электромагнитное поле относится к классу векторных полей в том смысле, который употребляется в современной физике по отношению к фундаментальным бозонным полям (например, гравитационное поле является в этом смысле не векторным, а тензорным полем).

Обозначается электромагнитный потенциал чаще всего $A_{i}$ или $\varphi _{i}$ , что подразумевает величину с индексом, имеющую четыре компоненты $A_{0},A_{1},A_{2},A_{3}$ или $\varphi _{0},\varphi _{1},\varphi _{2},\varphi _{3}$ , причём индексом 0, как правило, обозначается временная компонента, а индексами 1, 2, 3 — три пространственных. В данной статье мы будем придерживаться первого обозначения.
В современной литературе могут использоваться более абстрактные обозначения.

В любой определенной инерциальной системе отсчёта электромагнитный потенциал $(A_{0},\ A_{1},\ A_{2},\ A_{3})$ распадается^[1] на скалярный (в трёхмерном пространстве) потенциал $\varphi \equiv A_{0}$ и трехмерный векторный потенциал ${\vec {A}}\equiv (A_{x},A_{y},A_{z})\equiv (-A_{1},-A_{2},-A_{3})$ ; эти потенциалы $\varphi \$ и ${\vec {A}}$ и есть те скалярный и векторный потенциалы, которые используются в традиционной трёхмерной формулировке электродинамики. В случае, когда электромагнитное поле не зависит от времени (или быстротой его изменения в конкретной задаче можно пренебречь), то есть в случае (приближении) электростатики и магнитостатики, напряжённость электрического поля выражается через $\varphi$ , называемый в этом случае электростатическим потенциалом, а напряжённость магнитного поля (магнитная индукция)^[2] — только через векторный потенциал. Однако в общем случае (когда поля меняются со временем) в выражение для электрического поля входит также и векторный потенциал, тогда как магнитное всегда выражается лишь через векторный (нулевая компонента электромагнитного потенциала в это выражение не входит).

Связь напряжённостей с электромагнитным потенциалом в общем случае такова в традиционных трёхмерных векторных обозначениях^[3]:

{\vec {E}}=-\nabla \varphi -{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}},

{\vec {B}}=\nabla \times {\vec {A}},

где ${\vec {E}}$ — напряжённость электрического поля, ${\vec {B}}$ — магнитная индукция (или, что в случае вакуума в сущности то же самое, напряженность магнитного поля), $\nabla$ — оператор набла, причём $\nabla \varphi \equiv \mathrm {grad} \,\varphi$ — градиент скалярного потенциала, а $\nabla \times {\vec {A}}\equiv \mathrm {rot} \,{\vec {A}}$ — ротор векторного потенциала.

В несколько более современной четырёхмерной формулировке эти же соотношения можно записать как выражение тензора электромагнитного поля через 4-вектор электромагнитного потенциала:

F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu },

где $F_{\mu \nu }$ — тензор электромагнитного поля, компоненты которого представляют собой компоненты $E_{x},E_{y},E_{z},B_{x},B_{y},B_{z}$ .

Приведённое выражение является обобщением выражения ротора для случая четырёхмерного векторного поля.

При переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой компоненты $A_{0},A_{1},A_{2},A_{3}$ преобразуются, как это свойственно компонентам 4-вектора, посредством преобразований Лоренца.

С использованием электромагнитного потенциала можно записать добавку $\Delta S$ к действию S для заряженной частицы^[4], вызванную её взаимодействием с электромагнитным полем:

\Delta S=-\int A_{\mu }j^{\mu }\,dxdydzdt

или

\Delta S=-\int qA_{\mu }u^{\mu }\,d\tau =-{\frac {1}{c}}\int qA_{\mu }\,dx^{\mu }=\int (-q\varphi +q{\vec {A}}\cdot {\vec {v}}/c)\,dt

(первая форма удобна для вывода уравнений поля (с источниками), а вторая — для вывода уравнения движения заряженной частицы); здесь $q$ — заряд частицы, $u^{i}$ — 4-скорость, $d\tau$ — дифференциал собственного времени (интервала вдоль траектории частицы, деленного на $c$ ), ${\vec {v}}$ — трёхмерная скорость, $c$ — скорость света, а $dx^{\mu }=(dx^{0},\;dx^{1},\;dx^{2},\;dx^{3})=(c\,dt,\;dx,\;dy,\;dz)$ — четырёхмерные пространственно-временные координаты частицы.

Физический смысл

Физический смысл четырёхмерного электромагнитного потенциала можно прояснить, заметив, что при взаимодействии заряженной частицы (с электрическим зарядом q) с электромагнитным полем этот потенциал даёт добавку в фазу $\Phi$ волновой функции частицы:

\Delta \Phi =-{\frac {1}{\hbar }}\int qA_{\mu }dx^{\mu }=-{\frac {1}{\hbar }}\int qA_{\mu }u^{\mu }d\tau

,

или, иначе говоря, вклад в действие (формула отличается от записанной выше только отсутствием множителя $1/\hbar$ , а в системе единиц, где редуцированная постоянная Планка $\hbar =1,$ обе формулы совпадают). Изменение фазы волновой функции частицы проявляется в сдвиге интерференционных полос при наблюдении интерференции заряженных частиц (см., например, эффект Ааронова — Бома).

Физический смысл электрического и магнитного потенциалов в более простом частном случае электростатики и магнитостатики, а также единицы измерения этих потенциалов обсуждаются в статьях Электростатический потенциал и Векторный потенциал электромагнитного поля.

См. также

Примечания

↑ В данной записи использовано ковариантное представление электромагнитного потенциала в сигнатуре лоренцевой метрики (+−−−), используемое и в других формулах статьи. Контравариантное представление $A^{i}\equiv (A^{0},\ A^{1},\ A^{2},A^{3})=(\varphi ,\ A_{x},\ A_{y},\ A_{z})$ отличается от ковариантного в лоренцевой метрике (такой сигнатуры) лишь знаком трёх пространственных компонент. В представлении с мнимой временной компонентой (в формально евклидовой метрике) электромагнитный потенциал всегда записывается в одинаковом виде: $(i\ \varphi ,\ A_{x},\ A_{y},\ A_{z})$ .
↑ В статье статье рассматривается лишь поля в вакууме, поэтому напряженность магнитного поля и магнитная индукция в сущности не различаются (правда, в некоторых системах единиц, например, в СИ, они имеют разную размерность, но даже в таких единицах в вакууме отличаются друг от друга лишь постоянным множителем).
↑ В зависимости от используемой системы физических единиц в эти формулы, а также в формулы, связывающие четырёхмерный электромагнитный потенциал с трёхмерными векторным потенциалом и скалярным потенциалом, могут входить различные размерные постоянный коэффициенты; мы для простоты приводим формулы в системе единиц, где скорость света равна единице, и все скорости безразмерны.
↑ Имеется в виду точечная частица без магнитного момента.

[1] В данной записи использовано ковариантное представление электромагнитного потенциала в сигнатуре лоренцевой метрики (+−−−), используемое и в других формулах статьи. Контравариантное представление $A^{i}\equiv (A^{0},\ A^{1},\ A^{2},A^{3})=(\varphi ,\ A_{x},\ A_{y},\ A_{z})$ отличается от ковариантного в лоренцевой метрике (такой сигнатуры) лишь знаком трёх пространственных компонент. В представлении с мнимой временной компонентой (в формально евклидовой метрике) электромагнитный потенциал всегда записывается в одинаковом виде: $(i\ \varphi ,\ A_{x},\ A_{y},\ A_{z})$ .

[2] В статье статье рассматривается лишь поля в вакууме, поэтому напряженность магнитного поля и магнитная индукция в сущности не различаются (правда, в некоторых системах единиц, например, в СИ, они имеют разную размерность, но даже в таких единицах в вакууме отличаются друг от друга лишь постоянным множителем).

[3] В зависимости от используемой системы физических единиц в эти формулы, а также в формулы, связывающие четырёхмерный электромагнитный потенциал с трёхмерными векторным потенциалом и скалярным потенциалом, могут входить различные размерные постоянный коэффициенты; мы для простоты приводим формулы в системе единиц, где скорость света равна единице, и все скорости безразмерны.

[4] Имеется в виду точечная частица без магнитного момента.

[1]

[2]

[3]

[4]