Предпучок (теория категорий)

Предпучок в теории категорий — конструкция, обобщающая топологическое понятие предпучка.

Формально, предпучок $F$ на категории $C$ со значениями в категории $V$ — это функтор $F\colon C^{\mathrm {op} }\to \mathbf {V}$, то есть контравариантный функтор из $C$ в $V$. Чаще всего рассматривают предпучки со значениями в категории множеств. Если $C$ — частично упорядоченное множество открытых множеств топологического пространства по включению, то категорный предпучок задаёт предпучок на топологическом пространстве в смысле, используемом в теории пучков.

Морфизмы между предпучками можно определить как естественные преобразования функторов. Это позволяет рассмотреть категорию функторов ${\widehat {C}}=\mathbf {Set} ^{C^{\mathrm {op} }}$. Функтор в ${\widehat {C}}$ называют профунктором.

Предпучок, естественно изоморфный функтору Hom $\mathrm {Hom} (-,A)$ для некоторого объекта $A$ категории $C$ называется представимым предпучком.

Широко используемый пример предпучка в теоретико-категорном смысле — симплициальное множество, являющееся предпучком на симплициальной категории $\Delta$ со значениями в категории множеств.

Свойства

• Если $C$ — малая категория, то категория пучков на ней ${\widehat {C}}=\mathbf {Set} ^{C^{\mathrm {op} }}$ является декартово замкнутой, и даже топосом. Также она является полной и кополной.
• Локально малая категория допускает полное и унивалентное вложение в категорию пучков на ней со значениями в $\mathbf {Set}$ — вложение Йонеды.

Литература

• Маклейн С. Глава 3. Универсальные конструкции и пределы // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 68—94. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.

• Saunders Mac Lane, Ieke Moerdijk, «Sheaves in Geometry and Logic» (1992) Springer-Verlag — ISBN 0-387-97710-4