Симплициальная категория

Симплициальная категория (также симпле́кс-категория, ординальная категория) — категория непустых конечных ординалов, морфизмы которой — монотонные функции. Играет важную роль в алгебраической топологии, является основной для таких конструкций, как симплициальный объект и симплициальное множество.

Симплициальная категория $\Delta$ (иногда используется обозначение $\mathbf {Ord}$) строится из объектов вида $[n]=\{0,1,\dots ,n\}$, где $n$ — натуральное число, и морфизмов $f:[n]\to [n']$ таких, что из $i\leqslant j$ следует $f(i)\leqslant f(j)$. Иными словами, объектами симплициальной категории являются конечные порядковые числа, а морфизмы — нестрого монотонные функции между ними. Порядковое число $[0]$ является начальным объектом категории, а $[1]$ — терминальным.

Свойства

Любой морфизм симплициальной категории может быть порождён композицией морфизмов ($0\leqslant i\leqslant n$):

$\delta _{i}^{n}:[n-1]\to [n]$,

$\sigma _{i}^{n}:[n+1]\to [n]$,

определённых следующим образом:

$\delta _{i}^{n}(j)={\begin{cases}j,&j<i\\j+1,&j\geqslant i\end{cases}}$ (возрастающее инъективное отображение, «пропускающее» $i$),

$\sigma _{i}^{n}(j)={\begin{cases}j,&j\leqslant i\\j-1,&j>i\end{cases}}$ (неубывающее сюръективное отображение, принимающее значение $i$ дважды).

Более того, для всякого $f\in \mathrm {Hom} _{\Delta }([m],[n])$ единственно представление:

$f=\delta _{i_{s}}^{n}\delta _{i_{s-1}}^{n-1}\dots \delta _{i_{1}}^{n-s+1}\sigma _{j_{t}}^{m-t}\dots \sigma _{j_{2}}^{m-2}\sigma _{j_{1}}^{m-1}$,

где $0\leqslant i_{1}<\dots <i_{s}\leqslant n$, $0\leqslant j_{t}<\dots <j_{1}<m$, $n=m-t+s$.

Эти морфизмы удовлетворяют следующим соотношениям:

$\delta _{j}^{n+1}\delta _{i}^{n}=\delta _{i}^{n+1}\delta _{j-1}^{n}$, если $i<j$,

$\sigma _{j}^{n}\sigma _{i}^{n+1}=\sigma _{i}^{n}\sigma _{j+1}^{i+1}$, если $i\leqslant j$,

$\sigma _{j}^{n-1}\delta _{i}^{n}={\begin{cases}\delta _{i}^{n-1}\sigma _{j-1}^{n-2},&i<j\\{\mathsf {Id}}_{[n-1]},&i=j\,\vee \,i=j+1\\\delta _{i-1}^{n-1}\sigma _{j}^{n-2},&i>j+1\end{cases}}$

Данные соотношения однозначно определяют морфизмы $\delta$ и $\sigma$.

Связанные определения

Порядковое сложение — бифунктор $+:\Delta \times \Delta \to \Delta$, определённый на порядковых числах как обычное сложение:

$[n]+[n']=[n+n']$,

а для морфизмов $f:[n]\to [n']$ и $g:[m]\to [m']$ по следующей схеме:

$(f+g)(i)={\begin{cases}f(i),&0\leqslant i\leqslant n-1\\n'+g(i-n),&n\leqslant i\leqslant n+m-1\end{cases}}$.

Симплициальная категория с порядковым сложением образует строго моноидальную категорию.

В приложениях также используется пополненная симплициальная категория (англ. augmented simplicial category) $\Delta _{+}$ — симплициальная категория, дополненная ординалом $[-1]=\varnothing$: $\Delta _{+}=\Delta \cup [-1]$. Иногда пополненную симплициальную категорию называют алгебраической симплициальной категорией, в этом случае $\Delta$ называют топологической.

Литература

• Маклейн С. Глава 7. Моноиды // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 188—221. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.

• Габриель П., Цисман М. Категории частных и теория гомотопий = Calculus of Fractions and Homotopy Theory / Перевод с английского М. М. Постникова. — М.: Мир, 1971. — С. 69—72. — 296 с.