Симплициальное множество

Симплициальное множество (в ранних источниках — полусимплициальный компле́кс) — теоретико-категорная конструкция, обобщающая понятие симплициального комплекса и в определённом смысле моделирующая понятие топологического пространства с «хорошими» свойствами: теория гомотопий для симплициальных множеств эквивалентна классической теории гомотопий для топологических пространств. Является чисто алгебраической конструкцией, обеспечивающей практически полный параллелизм с геометрическими объектами; в связи с этим считается одним из важнейших объектов в алгебраической топологии как с методологической точки зрения, так и с инструментальной.

С точки зрения теории категорий определяется как симплициальный объект из категории множеств, или, эквивалентно, как предпучок симплициальной категории в категорию множеств.

Определения и структура

Симплициальное множество $X$ — контравариантный функтор из симплициальной категории в категорию множеств: $\Delta ^{\mathrm {op} }\to \mathbf {Set}$.

Так как всякий морфизм симплициальной категории порождается морфизмами $\delta _{i}^{n}:[n-1]\to [n]$ и $\sigma _{i}^{n}\colon [n+1]\to [n]$ ($0\leqslant i\leqslant n$), определёнными как:

$\delta _{i}^{n}(j)={\begin{cases}j,&j<i\\j+1,&j\geqslant i\end{cases}}$,

$\sigma _{i}^{n}(j)={\begin{cases}j,&j\leqslant i\\j-1,&j>i\end{cases}}$,

то симплициальное множество может быть сконструировано как система $n$-х слоёв $X_{n}$, связанных соответствующими (двойственными к $\delta$ и $\sigma$) отображениями $d_{i}^{n}\colon X_{n}\to X_{n-1}$ и $s_{i}^{n}\colon X_{n}\to X_{n+1}$, удовлетворяющих соотношениям:

$d_{i}^{n}d_{j}^{n+1}=d_{j-1}^{n}d_{i}^{n+1}$, если $i<j$,

$s_{i}^{n}s_{j}^{n-1}=s_{j+1}^{n}s_{i}^{n-1}$, если $i\leqslant j$,

$d_{i}^{n+1}s_{j}^{n}={\begin{cases}s_{j-1}^{n-1}d_{i}^{n},&i<j\\{\mathsf {Id}}_{X_{n}},&(i=j)\,\vee \,(i=j+1)\\s_{j}^{n-1}d_{i-1}^{n},&i>j+1\end{cases}}$.

Точки слоя $X_{n}$ называются $n$-мерными симплексами, притом точки слоя $X_{0}$ — вершинами, а слоя $X_{1}$ — рёбрами. Морфизмы $d_{i}^{n}$ называются операторами граней, а морфизмы $s_{j}^{n}$ — операторами вырождения.

Симплициальное отображение — (функторный) морфизм между симплициальными множествами $f\colon X\to X'$, симплициальное отображение также может быть рассмотрено как совокупность слоёв $f_{n}\colon X_{n}\to X_{n}'$, притом выполнено:

$d_{i}^{n}f_{n}=f_{n-1}d_{i}^{n}$ ($0\leqslant i\leqslant n$),

$s_{i}^{n}f_{n}=f_{n+1}s_{i}^{n}$ ($0\leqslant i\leqslant n$).

Симплициальное множество $X$ называется симплициальным подмножеством $X'$, если все слои $f_{n}\colon X_{n}\to X_{n}'$ симплициального отображения $f\colon X\to X'$ инъективны; в этом случае операторы граней и операторы вырождения в $X$ являются сужениями соответствующих операторов для $X'$.

Симплициальное фактормножество — конструкция, получаемая послойной факторизацией симплициального множества, то есть $X/\sigma$ — набор слоёв $X_{n}/\sigma$, притом операторы граней и вырождения слоёв-фактормножеств индуцируются соответствующими операторами множества $X$.

Симплициальные множества со всевозможными симплициальными отображениями между ними образуют категорию $\mathbf {Set} ^{\Delta ^{\mathrm {op} }}$.

Свойства

Категория симплициальных множеств допускает прямые и обратные пределы, вычисляемые послойно. В частности, для любых симплициальных множеств $X$ и $X'$ определены прямое произведение $X\times X'$ и прямая сумма (раздельное объединение) $X\oplus X'$, притом для всех слоёв:

$(X\times X')_{n}=X_{n}\times X'_{n}$,

$(X\oplus X')_{n}=X_{n}\oplus X'_{n}$.

Косимплициальное множество

Также используется двойственное понятие косимплициального множества — функтора из симплициальной категории в категорию множеств: $\Delta \to \mathbf {Set}$. Косимплициальные множества имеют аналогичную послойную структуру с операторами граней и вырождения (двойственных к соответствующим операторам симплициальных множеств) и образуют категорию $\mathbf {Set} ^{\Delta }$.

Литература

• Габриель П., Цисман М. Категории частных и теория гомотопий = Calculus of Fractions and Homotopy Theory / Перевод с английского М. М. Постникова. — М.: Мир, 1971. — 296 с.
• Симплициальное множество — статья из Математической энциклопедии. Малыгин С. Н., Постников М. М.
• Маклейн С. Глава 7. Моноиды // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 188—221. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.