Симплициальное множество

Симплициальное множество (в ранних источниках — полусимплициальный компле́кс) — теоретико-категорная конструкция, обобщающая понятие симплициального комплекса и в определённом смысле моделирующая понятие топологического пространства с «хорошими» свойствами: теория гомотопий для симплициальных множеств эквивалентна классической теории гомотопий для топологических пространств. Является чисто алгебраической конструкцией, обеспечивающей практически полный параллелизм с геометрическими объектами; в связи с этим считается одним из важнейших объектов в алгебраической топологии как с методологической точки зрения, так и с инструментальной[1].

С точки зрения теории категорий определяется как симплициальный объект[en] из категории множеств, или, эквивалентно, как предпучок симплициальной категории в категорию множеств.

Определения и структураПравить

Симплициальное множество   — контравариантный функтор из симплициальной категории в категорию множеств:  .

Так как всякий морфизм симплициальной категории порождается морфизмами   и   ( ), определёнными как[2]:

 ,
 ,

то симплициальное множество может быть сконструировано как система  -х слоёв  , связанных соответствующими (двойственными к   и  ) отображениями   и  , удовлетворяющих соотношениям:

 , если  ,
 , если  ,
 .

Точки слоя   называются  -мерными симплексами, притом точки слоя   — вершинами, а слоя   — рёбрами. Морфизмы   называются операторами граней, а морфизмы   — операторами вырождения.

Симплициальное отображение — (функторный) морфизм между симплициальными множествами  , симплициальное отображение также может быть рассмотрено как совокупность слоёв  , притом выполнено:

  ( ),
  ( ).

Симплициальное множество   называется симплициальным подмножеством  , если все слои   симплициального отображения   инъективны; в этом случае операторы граней и операторы вырождения в   являются сужениями соответствующих операторов для  .

Симплициальное фактормножество — конструкция, получаемая послойной факторизацией симплициального множества, то есть   — набор слоёв  , притом операторы граней и вырождения слоёв-фактормножеств индуцируются соответствующими операторами множества  .

Симплициальные множества со всевозможными симплициальными отображениями между ними образуют категорию  [3].

МотивацияПравить

ПримерыПравить

СвойстваПравить

Категория симплициальных множеств допускает прямые и обратные пределы, вычисляемые послойно. В частности, для любых симплициальных множеств   и   определены прямое произведение   и прямая сумма (раздельное объединение)  , притом для всех слоёв:

 ,
 .

Геометрическая реализацияПравить

Косимплициальное множествоПравить

Также используется двойственное понятие косимплициального множества — функтора из симплициальной категории в категорию множеств:  . Косимплициальные множества имеют аналогичную послойную структуру с операторами граней и вырождения (двойственных к соответствующим операторам симплициальных множеств) и образуют категорию  .

ПримечанияПравить

  1. Габриель, Цисман, 1971, …Мы имеем в виду существование почти полного параллелизма (выражающегося в эквивалентности соответствующих категорий) между гомотопической теорией топологических пространств и аналогичной теорией симплициальных множеств — объектов, по существу, чисто алгебраических. Теория симплициальных множеств, с одной стороны, имеет большое методологическое значение, существенно проясняя логическую и концептуальную природу основ алгебраической топологии, а с другой — играет роль одного из мощнейших инструментов топологического исследования… (из предисловия М. М. Постникова), с. 5.
  2. Симплициальный объект — статья из Математической энциклопедии. Малыгин С. Н., Постников М. М.
  3. В источниках 1970-х годов используется обозначение  . Также используется обозначение  

ЛитератураПравить

  • Габриель П., Цисман М. Категории частных и теория гомотопий = Calculus of Fractions and Homotopy Theory / Перевод с английского М. М. Постникова. — М.: Мир, 1971. — 296 с.
  • Симплициальное множество — статья из Математической энциклопедии. Малыгин С. Н., Постников М. М.
  • Маклейн С. Глава 7. Моноиды // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 188—221. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.