Равносоставленность
Равносоставленность — отношение между фигурами определённого типа (например, многогранниками). Означает, что одну фигуру можно разбить на более мелкие куски, из которых можно составить другую фигуру.
Варианты определений
правитьВ определении следует уточнить класс фигур, тип разрезаний или кусков на которые разрешается разбивать фигуру и тип преобразований пространства которые используются в при составлении другой фигуры. Например за класс фигур можно взять множество многогранников в евклидовом пространстве, куски также определить как многогранники и использовать движения пространства как преобразования.
Рассматриваются также другие группы преобразований, афинные, преобразования подобия и так далее; а также другие типы разрезаний, например вдоль жордановых дуг или разбиение на произвольные множества.
Теоремы
править- По теореме Бойяи — Гервина, любой многоугольник равносоставлен любому другому многоугольнику той же площади.
- Аналогичное утверждение не выполняется для многогранников такого же объёма; смотри Третья проблема Гильберта.
- Однако, соты равного объёма равносоставлены в любой размерности.
- Равносоставленность многоугольников с разрезанием по жордановым дугам эквивалентна равносоставленности с разрезанием по отрезкам прямых.[1]
- Отсутствие ограничения на разрезания приводит к парадоксальным результатам, например
См. также
правитьПримечания
править- ↑ L. Dubins, M. Hirsch, J. Karush, Scissor congruence, Israel J. Math. 1 1963 239—247.
Литература
править- В. Г. Болтянский, А. Н. Савин. Равновеликие и равносоставленные фигуры. — Гостехиздат, 1956. — 64 с. — (Популярные лекции по математике, Выпуск 22).
- В. Г. Болтянский. Третья проблема Гильберта. — М.: Наука, 1977. — 208 с.
- А. М. Петрунин, С. Е. Рукшин. Уникальносоставленные фигуры // Матем. просв. сер. 3. — 2006. — Т. 10. — С. 161–175.