Подобные фигуры на рисунке имеют одинаковые цвета

Подо́бие — преобразование евклидова пространства, при котором для любых двух точек , и их образов , имеет место соотношение , при некотором фиксированном , называемым коэффициентом подобия.

Содержание

ИсторияПравить

Подобные фигуры рассматривались в Древней Греции в V—IV веках до нашей эры; они появляются в трудах Гиппократа Хиосского, Архита Тарентского, Евдокса Книдского и в VI книге «Начал» Евклида.

ПримерыПравить

  • Каждая гомотетия является подобием.
  • Каждое движение (в том числе и тождественное) также можно рассматривать как преобразование подобия с коэффициентом  .

Связанные определенияПравить

  • Фигура   называется подобной фигуре  , если существует преобразование подобия, при котором  .
    • Подобие фигур является отношением эквивалентности.
    • Для обозначения подобия используется значок   — то, что фигуры   и   подобны, можно записать как  .

Метод подобияПравить

Подобие фигур применяется к решению многих задач на построение.

Метод подобия состоит в том, что, пользуясь некоторыми данными задачи, строят сначала фигуру, подобную искомой, а затем переходят к искомой. Этот метод особенно удобен тогда, когда только одна данная величина есть длина, а все прочие величины — или углы, или отношения линий.

Классическим примером задачи на метод подобия является построение окружности, касающейся двух сторон данного угла и проходящей через данную точку.[1]

СвойстваПравить

  • Подобие есть взаимно однозначное отображение евклидова пространства на себя.
  • Подобие является аффинным преобразованием плоскости.
  • Подобие сохраняет порядок точек на прямой, то есть если точка   лежит между точками  ,   и  ,  ,   — соответствующие их образы при некотором подобии, то   также лежит между точками   и  .
  • Точки, не лежащие на прямой, при любом подобии переходят в точки, не лежащие на одной прямой.
  • Подобие преобразует прямую в прямую, отрезок в отрезок, луч в луч, угол в угол, окружность в окружность.
  • Подобие сохраняет величины углов между кривыми.
  • Подобие с коэффициентом  , преобразующее каждую прямую в параллельную ей прямую, является гомотетией с коэффициентом   или  .
    • Каждое подобие можно рассматривать как композицию движения   и некоторой гомотетии   с положительным коэффициентом.
    • Подобие называется собственным (несобственным), если движение   является собственным (несобственным). Собственное подобие сохраняет ориентацию фигур, а несобственное — изменяет ориентацию на противоположную.
  • Два треугольника являются подобными, если
  • Площади подобных фигур пропорциональны квадратам их сходственных линий (например, сторон). Так, площади кругов пропорциональны отношению квадратов их радиусов.

ОбобщенияПравить

Аналогично определяется подобие (с сохранением указанных выше свойств) в 3-мерном евклидовом пространстве, а также в n-мерном евклидовом и псевдоевклидовом пространствах.

В метрических пространствах так же, как в  -мерных римановых, псевдоримановых и финслеровых пространствах подобие определяется как преобразование, переводящее метрику пространства в себя с точностью до постоянного множителя.

Совокупность всех подобий n-мерного евклидова, псевдоевклидова, риманова, псевдориманова или финслерова пространства составляет  -членную группу преобразований Ли, называемой группой подобных (гомотетических) преобразований соответствующего пространства. В каждом из пространств указанных типов  -членная группа подобных преобразований Ли содержит  -членную нормальную подгруппу движений.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

СсылкиПравить