Свободная частица

Свобо́дная части́ца — термин, используемый в физике для обозначения частиц, которые не взаимодействуют с другими телами и имеют только кинетическую энергию.

Совокупность свободных частиц образует идеальный газ.

Несмотря на простоту определения, в физике понятие свободной частицы играет очень большую роль, поскольку уравнения движения должны прежде всего удовлетворяться для свободных частиц.

Классическая механика

В классической физике свободная частица сохраняет свою скорость, соответственно, сохраняется также импульс. Кинетическая энергия свободной частицы задаётся формулами

• $E=T={\frac {mv^{2}}{2}}$, где $m$ — масса частицы, $v$ — её скорость, в нерелятивистском случае.
• $E=T={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}-mc^{2}$, где $c$ — скорость света, в релятивистском случае.

Нерелятивистская квантовая механика

Квантовые частицы описываются уравнением Шрёдингера

$i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta \psi$,

где $\psi$ — волновая функция рассматриваемой частицы, $\hbar$ — редуцированная постоянная Планка, $t$ — время.

Решения этого уравнения даются суперпозицией волновых функций, которые имеют вид

$\psi _{\mathbf {k} }=A_{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -itE/\hbar }$,

где $\mathbf {r}$ — радиус-вектор, $i$ — мнимая единица,

$E={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}$,

$A_{\mathbf {k} }$ любое комплексное число (размерности м^-3/2).

Волновой вектор $\mathbf {k}$ является для свободной квантовомеханической частицы единственным квантовым числом.

Свободная квантовая частица может находиться в состоянии со строго определённым волновым вектором. Тогда её импульс тоже строго определен и равняется $\mathbf {p} =\hbar \mathbf {k}$. В таком случае энергия частицы тоже определённая и равняется $E$. Однако квантовая частица может находиться также в смешанном состоянии, в котором ни импульс, ни энергия не определены.

Свободная частица в криволинейных координатах

Гамильтониан свободной частицы

${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta$

пропорционален оператору Лапласа, который в криволинейных координатах, а также на произвольном римановом многообразии имеет вид

$\Delta ={\frac {1}{\sqrt {g}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left({\sqrt {g}}g^{ik}{\frac {\partial }{\partial q^{k}}}\right)$.

Таким образом, гамильтониан свободной частицы в криволинейных координатах имеет вид:

$H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {1}{\sqrt {g}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left({\sqrt {g}}g^{ik}{\frac {\partial }{\partial q^{k}}}\right)$.

Классическая функция Гамильтона имеет вид

$H_{c}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )={\frac {1}{2m}}g^{ik}(\mathbf {q} )p_{i}p_{k}$.

В данном случае возникает нетривиальная задача упорядочивания, которая может быть решена лишь локально

$H(\mathbf {P} ,\mathbf {Q} )={\frac {1}{2m}}\left(g^{ik}(\mathbf {Q} )P_{i}P_{k}+i\hbar g^{is}(\mathbf {Q} )\Gamma _{is}^{k}(\mathbf {Q} )P_{k}\right)$.

Релятивистская квантовая частица

Релятивистские квантовые частицы описываются разными уравнениями движения, в зависимости от типа частиц.

Для электронов и их античастиц позитронов справедливо уравнение Дирака. В состоянии с определённым значением импульса $p$ энергия частиц равняется

$E=\pm c{\sqrt {m^{2}c^{2}+p^{2}}}$,

где знак "+" соответствует электрону, а "-" соответствует позитрону. Для релятивистского электрона появляется также дополнительное квантовое число — спин.

Другие частицы описываются своими специфическими уравнениями, например, бесспиновая частица описывается уравнением Клейна — Гордона.

Литература

• Флюгге З. Задачи по квантовой механике / Перевод с английского под редакцией А.А. Соколова. — М.: Издательство ЛКИ, 2008. — Т. 1. — 344 с.
• Тахтаджян Л.А. Квантовая механика для математиков / Перевод с английского к.ф.-м.н. С.А. Славнов. — Изд. 2-е. — М.-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Ижевский институт компьютерных исследований, 2011. — 496 с. — ISBN 978-5-93972-900-0.