Симметрическая алгебра

В математике, симметрической алгеброй $S(V)$ (также обозначается $\mathrm {Sym} (V)$) векторного пространства $V$ над полем $K$ называется свободная коммутативная ассоциативная алгебра с единицей, содержащая $V$.

Иначе говоря, симметрическую алгебру можно определить как факторалгебру тензорной алгебры по двустороннему идеалу, порождённому элементами вида $v\otimes w-w\otimes v$. Она удовлетворяет следующему универсальному свойству: для любого линейного отображения $f$ из $V$ в коммутативную алгебру $A$ существует единственный гомоморфизм алгебр $g:S(V)\to A$ такой, что $f=g\circ i$, где $i:V\to S(V)$ — вложение.

Симметрическая алгебра имеет градуированную структуру:

$S(V)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }S^{n}(V),$

где $S^{n}(V)$ — векторное подпространство, порождённое произведением $n$ векторов из $V$.

См. также

• Алгебра Клиффорда
• Внешняя алгебра
• Тензорная алгебра

Ссылки

• Винберг Э. Б. Курс алгебры — М.: Издательство «Факториал Пресс», 2002, ISBN 5-88688-060-7
• Бурбаки, Никола (1989), Начала математики, Алгебра I, Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9, <https://books.google.com/books?id=STS9aZ6F204C&q=%22Symmetric+algebra%22>