Симметричный тензор

В математике и теоретической физике тензор называется симметричным по двум индексам i и j, если он не меняется при перестановке этих индексов:

Если тензор не меняется при перестановке любой пары своих индексов, то такой тензор называется абсолютно симметричным.

Симметризация и антисимметризацияПравить

Для любого тензора U, с компонентами  , можно построить симметричный и антисимметричный тензор по правилу:

  (симметричная часть),

  (антисимметричная часть).

Термин «часть» означает, что  

Для большего числа индексов тоже можно определить симметризацию:

 ,

обозначаемую также (для случая её проведения по всем индексам) символом  :

 .

Однако, для разложения тензора ранга, большего двух, оказывается недостаточно лишь абсолютно симметричного и абсолютно антисимметричного слагаемых.

СвойстваПравить

Примеры абсолютно симметричных тензоровПравить

Последний пример показывает, что, в отличие от антисимметричного случая, пространство симметричных тензоров будет иметь положительную размерность при сколь угодно большом числе симметризуемых индексов.

ПрименениеПравить

Симметричные ковариантные тензоры возникают при разложении в ряд Тейлора функции, заданной на линейном пространстве — член степени n является симметричным n-линейным функционалом, то есть его «коэффициентом» является абсолютно симметричный тензор ранга n.

В квантовой механике симметричный по n индексам тензор описывает n-частичное состояние бозона. Когда состояние описывается волновой функцией, волновые функции от многих переменных математически могут рассматриваться как бесконечномерные тензоры (каждый аргумент соответствует индексу). Симметричная функция удовлетворяет уравнению   и аналогично для большего числа переменных.