Точки Торричелли

Точки Торричелли — две точки, из которых все стороны треугольника видны либо под углом в 60°, либо под углом в 120°. Эти точки в треугольнике — «парные». Иногда эти точки называют точками Ферма или точками Ферма-Торричелли.

• Две Точки Торричелли — это точки пересечения отрезков, соединяющих вершины треугольника:
  • c соответствующими свободными вершинами равносторонних треугольников, построенных на противолежащих сторонах треугольника (наружу) — первая точка Торричелли
  • с соответствующими свободными вершинами правильных треугольников, построенных на противолежащих сторонах внутрь треугольника — вторая точка Торричелли.

Построение точки Торричелли для треугольников с углами, не превосходящими 120°.

Свойства

• Первая точка Торричелли — точка треугольника, из которой все стороны видны под углом в 120° (по определению).
• Первая точка Торричелли имеет наименьшую сумму расстояний до вершин треугольника. Она существует только в треугольниках с углами, меньшими 120°; при этом она единственна и, значит, является частным случаем точки Ферма, существующей в любом треугольнике.
• Две точки Торричелли и точка Лемуана лежат на одной прямой.
• Точки Торричелли изогонально сопряжены точкам Аполлония.
• Построим две прямые, каждая из которых проходит через точку Аполлония и точку Торричелли, отличную от изогонально сопряжённой ей. Такие прямые пересекутся в точке пересечения медиан (в центроиде треугольника).
• Теорема Лестера. В любом разностороннем треугольнике две точки Торричелли, центр девяти точек и центр описанной окружности лежат на одной окружности (окружности Лестера).

• 

  Гипербола Киперта

Гипербола Киперта — описанная гипербола, проходящая через центроид и ортоцентр. Если на сторонах треугольника построить подобные равнобедренные треугольники (наружу или внутрь), а затем соединить их вершины с противоположными вершинами исходного треугольника, то три таких прямые пересекутся в одной точке, лежащих на гиперболе Киперта. В частности, на этой гиперболе лежат точки Торричелли и точки Наполеона (точки пересечения чевиан, соединяющие вершины с центрами построенных на противоположных сторонах правильных треугольников).

Замечание

Кстати, на первом рисунке справа центры трёх равносторонних треугольников сами являются вершинами нового равностороннего треугольника (Теорема Наполеона). Кроме того, $AA'=BB'=CC'$.

Литература

• Точка Ферма
• Точка Торричелли
• Практический пример построения точки Ферма (англ.)
• Замечательные точки треугольника
• Задача Ферма-Торричелли и её развитие// http://pmpu.ru/vf4/algebra2/optimiz/distance/torri
• * Дм. Ефремов. Новая геометрия треугольника 1902 год
• Протасов В. Ю. Максимумы и минимумы в геометрии. — М.: МЦНМО. — 56 с. — (Библиотека «Математическое просвещение», выпуск 31).

См. также

• Замечательные точки треугольника
• Геометрия треугольника
• Окружность
• Окружность Лестера
• Правильный треугольник
• Вторая точка Ферма
• Теорема Ван-Обеля
• Точка Ферма
• Точки Аполлония
• Треугольник
• Отрезки и окружности, связанные с треугольником

Литература

• Paul Yiu. The Circles of Lester, Evans, Parry, and Their Generalizations // Forum Geometricorum. — 2010. — Т. 10.