Открыть главное меню

Центр девяти точек

Треугольник, описанная вокруг него окружность (черная) и её центр (чёрный), высоты треугольника (часть высоты, расположенная внутри окружности Эйлера, синяя, а вне - её черная) и окружность девяти точек (синяя) и её центр (синий)

Центр девяти точек — это одна из замечательных точек треугольника. Его часто обозначают через .

Точка так названа потому, что она является центром окружности девяти точек или окружности Эйлера, проходящей через девять важных точек треугольника — середины сторон, основания трёх высот и середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника. Центр девяти точек указан как точка X(5) в энциклопедии центров треугольника Кларка Кимберлинга[en][1][2].

Содержание

СвойстваПравить

 

Таким образом, если пара из этих четырёх центров известна, положение двух других легко найти.

  • Андрю Гинанд (Andrew Guinand) в 1984-м году, исследуя задачу, ныне известную как задача определения треугольника Эйлера, показал, что если положение этих центров для неизвестного треугольника задано, то инцентр треугольника лежит внутри ортоцентроидальной окружности[en] (окружности, диаметром которой служит отрезок между центроидом и ортоцентром). Только одна точка внутри этой окружности не может быть центром вписанной окружности, это центр девяти точек. Любая другая точка внутри этой окружности определяет единственный треугольник[4][5][6][7].
  • Расстояние от центра девяти окружностей до инцентра I удовлетворяет формулам
 
 
 

где   и   — радиусы описанной и вписанной окружностей соответственно.

  • Центр девяти точек является центром описанных окружностей серединного треугольника, ортотреугольника и треугольника Эйлера[8][3]. Вообще говоря, эта точка является центром описанной окружности треугольника, имеющего в качестве вершин любые три из девяти перечисленных точек.
  • Центр девяти точек совпадает с центроидом четырёх точек — трёх точек треугольника и его ортоцентра[9].
  • Из девяти точек на окружности Эйлера три являются серединами отрезков, соединяющих вершины с ортоцентром (вершины треугольника Эйлера-Фейербаха). Эти три точки являются отражениями середин сторон треугольника относительно центра девяти точек.
  • Таким образом, центр девяти точек служит центром симметрии, переводящей серединный треугольник в треугольник Эйлера-Фейербаха (и наоборот) [3].
  • Согласно теореме Лестера центр девяти точек лежит на одной окружности с тремя другими точками — двумя точками Ферма и центром описанной окружности [10].
 
Точка Коснита, изогонально сопряженная центру девяти точек

КоординатыПравить

Трилинейные координаты центра девяти точек равны[1][2]

 
 
 
 

Барицентрические координаты центра равны[2]

 
 

ПримечанияПравить

  1. 1 2 Kimberling, 1994, с. 163–187.
  2. 1 2 3 4 Encyclopedia of Triangle Centers, accessed 2014-10-23.
  3. 1 2 3 Dekov, 2007.
  4. Stern, 2007, с. 1–9.
  5. Euler, 1767, с. 103–123.
  6. Guinand, 1984, с. 290–300.
  7. Franzsen, 2011, с. 231-236.
  8. Здесь не следует путать треугольник Эйлера из теории чисел (наподобие треугольника Паскаля) и треугольник Эйлера как треугольник, образованный точками Эйлера. Точки Эйлера — это середины отрезков, соединяющих оротоцентр с вершинами треугольника.
  9. Энциклопедия центров треугольника приписывает это наблюдение Рэнди Хьюстону(Randy Hutson, 2011).
  10. Yiu, 2010, с. 175–209.
  11. Rigby, 1997, с. 156–158.

ЛитератураПравить

  • Kimberling. Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle // Mathematics Magazine. — 1994. — Т. 67, вып. 3.
  • Stern. Euler’s triangle determination problem // Forum Geometricorum. — 2007. — Т. 7.
  • Dekov. Nine-point center // Journal of Computer-Generated Euclidean Geometry. — 2007.
  • Euler. Solutio facilis problematum quorundam geometricorum difficillimorum (Latin) // Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. — 1767. — Т. 11.
  • Andrew P. Guinand. Euler lines, tritangent centers, and their triangles // American Mathematical Monthly. — 1984. — Т. 91, вып. 5.
  • William N. Franzsen. The distance from the incenter to the Euler line // Forum Geometricorum. — 2011. — Вып. 11.
  • Paul Yiu. The circles of Lester, Evans, Parry, and their generalizations // Forum Geometricorum. — 2010. — Т. 10.
  • Rigby. Brief notes on some forgotten geometrical theorems // Mathematics and Informatics Quarterly. — 1997. — Vol. 7.

Внешние ссылкиПравить