Открыть главное меню

В данной статье приведен список различных квадратурных формул, для численного интегрирования.

Содержание

ОбозначенияПравить

В общем виде формула численного интегрирования записывается следующим образом:

 ,
  •   — интегрируемая функция;
  •   — веса интегрирования;
  •   — система координат мастер-элемента;
  •   — матрица Якоби для перехода на мастер-элемент.

В силу аддитивности интеграла в качестве области интегрирования   будут рассматриваться простые области (треугольник, четырёхугольник, тетраэдр и так далее), при сложной геометрии область можно представить как объединение простых и посчитать интеграл по ним или представить с помощью сплайна отображение на мастер-элемент.

В статье для обозначения естественных координат будут использоваться переменные  , для обозначения координат мастер-элемента —  .

Одномерный интегралПравить

 
Численное интегрирование на мастер-элементе функции   методом гаусса-3

Одномерное интегрирование — это всегда интегрирование по отрезку.

  • Область интегрирования: отрезок  ;
  • Мастер-элемент: отрезок  ;
  • Переход на мастер-элемент:  ;
  • Переход с мастер-элемента:  ;
  • Якобиан:  .
Номер Число точек Порядок интегрирования     Дополнительно
1 1 1     Метод прямоугольников
2 2 1     Метод трапеций
   
3 2 3     Метод Гаусса-2
   
4 3 3     Метод Симпсона
   
   
5 3 5     Метод Гаусса-3
   
   
6 4 7     Метод Гаусса-4
   
   
   
7 5 9     Метод Гаусса-5
   
   
   
   

Двухмерный интегралПравить

Квадратный мастер-элементПравить

 
Квадратный мастер-элемент с изображенной 12-и точечной формулой
  • Область интегрирования: прямоугольник  
  • Мастер-элемент: квадрат  
  • Переход на мастер-элемент:
 
 ;
  • Переход с мастер-элемента:
 
 ;
  • Якобиан:  .

Данные формулы интегрирования можно использовать и когда область интегрирования — выпуклый четырёх угольник, но тогда формулы перехода на мастер-элемент (и обратно) не будут иметь такой простой вид. Получить выражение для перехода можно используя интерполяционный полином.
Многие из формул интегрирования по квадрату можно получить, как комбинацию формул по отрезку: в качестве точек интегрирования берутся все возможные пары одномерных точек, а в качестве весов — соответствующие произведения весов интегрирования. Примерами таких методов в таблице ниже являются метод прямоугольников, метод трапеций и метод Гаусса-2.

Номер Число точек Порядок интегрирования       Дополнительно
1 1 1       Метод прямоугольников (метод среднего)
2 4 1       Метод трапеций
     
     
     
3 4 3       Метод Гаусса-2
     
     
     
4 12 7        
 
 
 
 
 
Число узлов минимально[1].
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     

Треугольный мастер-элементПравить

 
Треугольный мастер-элемент, с точками Гаусса-4
  • Область интегрирования: треугольник, образованный вершинами  ;
  • Мастер-элемент: треугольник, образованный вершинами  .

Для перехода на мастер-элемент используются барицентрические координаты (L-координаты), обозначим их  .

 

Для вычисления коэффициентов L-координат используется матрица  :

 

Матрица коэффициентов обратна к  :  .

  • Переход на мастер элемент:
 
 
  • Переход с мастер элемента:
 
  • Якобиан :  .
Номер Число точек Порядок интегрирования       Дополнительно
1 1 1       Метод среднего
2 3 1       -
     
     
2 3 2       Метод Гаусса-3
     
     
4 4 3       Метод Гаусса-4
     
     
     
5 7 3       Метод Ньютона-Котеса (Newton-Cotes (англ.))
     
     
     
     
     
     

Трёхмерный интегралПравить

Кубический мастер-элементПравить

 
Кубический мастер-элемент, с изображенной 14-и точечной формулой
  • Область интегрирования: параллелепипед  
  • Мастер-элемент: куб  
  • Переход на мастер-элемент:
 
 
 
  • Переход с мастер-элемента:
 
 ;
 ;
  • Якобиан:  .

Аналогично как и для квадрата, куб можно использовать как мастер-элемент для произвольного шестигранника[уточнить], но тогда формулы перехода и якобиана усложнится.
Так же, аналогично с квадратом, многие формулы интегрирования по кубу можно получить из формул интегрирования по отрезку, координаты узлов — это все возможные тройки координат одномерной формулы, а веса интегрирования — произведение соответствующих весов одномерной формулы.

Номер Число точек Порядок интегрирования         Дополнительно
1 1 1         Метод прямоугольников (метод среднего)
2 8 3         Метод Гаусса-2
       
       
       
       
       
       
       
3 14 5         Число узлов в классе формул с порядком аппроксимации 5 и не содержащих начало координат минимально.[2]
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       

Поскольку формулы интегрирования высоких порядков содержат много точек, то их приведём отдельно.

  • Порядок: 7, число точек: 34
Номер точки         Дополнительно
1          ,
 ,
 ,
 ,
 ,
 ,
 
2        
3        
4        
5        
6        
7        
8        
9        
10        
11        
12        
13        
14        
15        
16        
17        
18        
19        
20        
21        
22        
23        
24        
25        
26        
27        
28        
29        
30        
31        
32        
33        
34        

Тетраэдральный мастер-элементПравить

 
Тетраэдральный мастер-элемент с точками Гаусса-11
  • Область интегрирования: тетраэдр, образованный вершинами  .
  • Мастер-элемент: тетраэдр, образованный вершинами  .

Аналогично с треугольником для перехода на мастер-элемент используются L-координаты тетраэдра, обозначим их  :

 

Матрица коэффициентов определяется, как:  , где

 
  • Переход на мастер-элемент:
 
 
 
  • Переход с мастер-элемента:
 
  • Якобиан :  .
Номер Число точек Порядок интегрирования         Дополнительно
1 1 1         Метод среднего
2 4 3         Метод Гаусса-4
       
       
       
3 11 4         Метод Гаусса-11
       
       
       
       
       
       
       
       
       
       

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить

  • Мысовских И. П. Интерполяционные кубатурные формулы. — Москва: Наука, 1981. — С. 336.

СсылкиПравить