Теорема Бёрнсайда

Теорема Бёрнсайда — классическая теорема теории конечных групп.

Теорема была доказана Вильямом Бёрнсайдом в начале XX века.^[1] Теорема Бёрнсайда долгое время была наиболее известным приложением теории представлений к теории групп. Доказательство без использования характеров группы было найдено Голдсмитом гораздо позже.^[2]

Формулировка

Пусть группа $G$ имеет порядок $p^{a}\cdot q^{b}$ , где $p$ и $q$ — простые числа. Тогда $G$ — разрешима.

Замечания

Из теоремы следует, что каждая неабелева конечная простая группа имеет порядок, делящийся на три различных простых числа.
- В частности наименьшая неабелева конечная простая группа — знакопеременная группа $A_{5}$ имеет порядок $60=5\cdot 3\cdot 2^{2}$ .

Схема доказательства Бёрнсайда

Используя математическую индукцию, достаточно доказать, что простая группа $G$ данного порядка — абелева^[3].
По теореме Силова, группа $G$ имеет либо нетривиальный центр, либо класс сопряженности размера $p^{r}$ для некоторого $r\geqslant 1$ . В первом случае, поскольку центр является нормальной подгруппой группы $G$ , она должна совпадать с центром, а значит являться абелевой. Значит верен второй случай — существует элемент $x$ группы $G$ , такой что класс сопряжённости элемента $x$ имеет размер $p^{r}>1$ .
Используя свойства ортогональности характеров группы и свойства алгебраических чисел, можно доказать существование нетривиального неприводимого характера $\chi$ группы $G$ такого, что $|\chi (x)|=\chi (1)$ .
Из простоты группы $G$ следует, что любое комплексное неприводимое представление характера $\chi$ верно (или точно), и отсюда следует, что $x$ принадлежит центру группы $G$ , что противоречит тому, что размер класса сопряжённости больше 1.

Вариации и обобщения

Наименьшее простое число в разложении порядка неразрешимой конечной группы, входит в разложение в степени хотя бы 2.

Примечания

↑ Burnside, W. (1904), "On Groups of Order p^αq^β" (PDF), Proc. London Math. Soc. (s2-1 (1)): 388—392, doi:10.1112/plms/s2-1.1.388
↑ Goldschmidt, David M. (1970), "A group theoretic proof of the p^aq^b theorem for odd primes", Math. Z., 113: 373—375, doi:10.1007/bf01110506, MR 0276338
↑ Скорняков Л. А. Элементы алгебры. — М.: Наука, 1986. — С. 228-229. — Тираж 21 000 экз.

Литература

James, Gordon; and Liebeck, Martin (2001). Representations and Characters of Groups (2 издание.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-00392-X. Глава 31.
Fraleigh, John B. (2002) A First Course in Abstract Algebra (7 издание). Addison Wesley. ISBN 0-201-33596-4.

Ссылки

Р. Борчердс (англ.), Representation theory: Burnside's theorem на YouTube

[1] Burnside, W. (1904), "On Groups of Order p^αq^β" (PDF), Proc. London Math. Soc. (s2-1 (1)): 388—392, doi:10.1112/plms/s2-1.1.388

[2] Goldschmidt, David M. (1970), "A group theoretic proof of the p^aq^b theorem for odd primes", Math. Z., 113: 373—375, doi:10.1007/bf01110506, MR 0276338

[3] Скорняков Л. А. Элементы алгебры. — М.: Наука, 1986. — С. 228-229. — Тираж 21 000 экз.

[1]

[2]

[3]