Теорема Дарбу в симплектической геометрии

Теорема Дарбу в симплектической геометрии — утверждение о том, что для любой симплектической структуры, заданной на многообразии , у любой точки в существует открытая окрестность и локальные координаты в ней, в которых симплектическая форма принимает канонический вид .

Гастон Дарбу

ФормулировкаПравить

Пусть   — симплектическая структура на  . Тогда для любой точки   всегда существует окрестность с такими локальными регулярными координатами  , в которых форма   записывается в простейшем каноническом виде, а именно:

 ,

то есть в каждой точке этой окрестности матрица   принимает блочный вид

 ,

где   и   — соответственно нулевая и единичная  -матрицы. Совокупность   координат   называют каноническими координатами, или координатами Дарбу, а наборы из   координат   и   — канонически сопряжёнными друг другу.

ДоказательствоПравить

 
Юрген Мозер (справа)

В современном доказательстве теоремы Дарбу используется так называемый трюк Мозера. Особенно нагляден он на замкнутых симплектических многообразиях. Именно, пусть   — две симплектические формы на многообразии  , принадлежащие одному классу когомологий де Рама. Тогда (например, рассматривая их линейные комбинации: конус невырожденных форм выпуклый) их можно связать однопараметрическим семейством симплектических форм  ,   таких, что класс когомологий их один и тот же. Стало быть, по определению когомологий де Рама, имеем право написать  , где   — некоторая 1-форма. Пусть   — векторное поле такое, что   (такое существует в силу невырожденности всех форм  ).

Скомпонуем эти два семейства, а именно векторных полей и 2-форм, в единое векторное поле  , определённое на многообразии с краем   как  , и единую 2-форму  , ограничивающуюся на всякое подмногообразие   как   (мы неявно отождествляем   с   путём забывания временной координаты, и без того постоянной на  ) и зануляющуюся при подстановке в неё векторного поля  . Заметим, что форма   вообще говоря не замкнута как форма на  : выписывая явную формулу для дифференциала де Рама, легко видеть равенство   (им, вкупе с тождественным занулением вдоль подмногообразий  , 3-форма   определяется однозначно).

Итак, применим формулу Картана:  . Следовательно, поток векторного поля   сохраняет форму  . В то же время, его поток переводит подмногообразия   друг в друга. Следовательно, определяемое им отображение Коши  , сопоставляющее начальной точки интегральной кривой её конечную точку, переводит ограничение формы   в ограничение формы  , то есть определяет диффеоморфизм  , переводящий   в  .

В частности, когда многообразие   двумерно, симплектическая форма есть то же самое, что форма площади, так что соответствующий класс когомологий определяется единственным числом — своим интегралом по фундаментальному циклу, иначе говоря, площадь поверхности. Таким образом, класс симплектоморфизма симплектической поверхности определяется однозначно её родом и площадью. Этот факт был известен, кажется, ещё Пуанкаре.

Доказательство для открытой области (то есть оригинального утверждения теоремы Дарбу) несколько более муторно, хотя и не требует иных существенных идей, и есть в книге[1].

Вариации и обобщенияПравить

 
Алан Вайнштейн (ок. 1985)

Вариант теоремы Дарбу для лагранжевых подмногообразий принадлежит Вайнштейну. Именно, на тотальном пространстве кокасательного расслоения ко всякому многообразию имеется каноническая симплектическая структура. С другой стороны, если   — симплектическое многообразие, и   — лагранжево подмногообразие (то есть подмногообразие половинной размерности такое, что  ), то имеется изоморфизм касательного и конормального расслоений к  : касательный вектор   отправляется в функционал  , зануляющийся на   и потому определённый на нормальном пространстве  ; в силу невырожденности формы   так получается всякий функционал на нормальном пространстве. Дуализируя, можно воспринимать это отображение как отображение из кокасательного расслоения в нормальное. Теорема Дарбу — Вайнштейна утверждает, что это отображение может быть проинтегрировано до настоящего отображения  , где   — некоторая трубчатая окрестность нулевого сечения кокасательного расслоения  , притом такого, что на   оно постоянно, а симплектическую форму на   переводит в симплектическую форму на  . В частности, графики замкнутых 1-форм будут при таком отображении переходить в лагранжевы подмногообразия в  , близкие к  .

Нечётномерный аналог теоремы Дарбу для контактных многообразий приндалежит Грею.

В сущности, теорема Дарбу означает, что никаких локальных инвариантов у симплектическим многообразий нет, что при их изучении смещает фокус в сторону топологии. Некоторым сходством обладают комплексные структуры: для всякого оператора почти комплексной структуры   (то есть такого, что  ), удовлетворяющего условию интегрируемости (то есть тому, что мнимые векторные поля, собственные с собственным числом   для оператора  , при коммутировании дают поле, также являющимся собственным для   с собственным числом  ), существует комплексная карта, то есть локальное голоморфное отображение в область в  . Это утверждение составляет теорему Ньюлендера — Ниренберга, доказательство которой существенно более сложно. Пример ситуации, когда теорема Дарбу неверна, дают римановы многообразия: для локальной изометрии две метрики должны иметь одинаковые тензоры римановой кривизны. Вместе с тем, римановы метрики проще в том смысле, что для них условие «интегрируемости» (аналогичное вышеприведённому условию для почти комплексной структуры или условию   для невырожденной 2-формы) всегда автоматически выполнено: для почти симплектической и почти комплексной структуры условие интегрируемости равносильно существованию линейной связности без кручения, относительно которой эти тензоры параллельны, в то время как для римановой метрики такая связность существует и притом единственна.

 
Эллиптические расслоения на K3-поверхностях впервые были систематически изучены Лефшецем

Для голоморфно симплектических многообразий аналог теоремы Дарбу-Вайнштейна также не может существовать, притом по существенным причинам. Например, рассмотрим K3-поверхность   с неизотривиальным эллиптическим расслоением (то есть расслоением, общий слой которого гладок, и в окрестности всякого неособого слоя все слои — попарно неизоморфные эллиптические кривые), и   — один из слоёв этого расслоения. Голоморфное кокасательное расслоение к эллиптической кривой тривиально, и графики замкнутых 1-форм, то есть его постоянных сечений, являются эллиптическими кривыми, биголоморфными данной. С другой стороны, как было замечено Хитчиным, голоморфно симплектическая форма, если на неё смотреть как на 2-форму с комплексными коэффициентами, позволяет восстановить комплексную структуру на многообразии однозначно. Если бы существовало отображение  , где   — окрестность нулевого сечения, которое переводит голоморфно симплектическую форму на   в голоморфно симплектическую форму на  , то оно было бы само голоморфным, и переводило близкие к   кривые в близкие к   кривые, притом биголоморфные  . Но из формулы присоединения видно, что все деформации эллиптической кривой на K3-поверхности образуют однопараметрическое семейство, и принадлежат к одному и тому же эллиптическому расслоению. Стало быть, если расслоение не изотривиально, то такого отображения не может существовать. Для голоморфных   в голоморфно симплектических многообразиях (например, рациональных кривых на K3-поверхностях) аналог теоремы Дарбу-Вайнштейна всё же имеется, но в его доказательстве ключевыми являются не геометрические соображения типа трюка Мозера, а теория особенностей или даже теория представлений: так, при сдутии рациональной кривой на К3-поверхности образуется особенность типа A1, она же фактор  , она же особенность у нильпотентного конуса алгебры Ли  ; а все такие особенности эквивалентны с точностью до аналитического изоморфизма, что даёт изоморфизм для окрестности кривой перед сдутием. Для кривых же большего рода верно в точности противоположное: знание сколь угодно малой окрестности кривой позволяет восстановить поверхность (или, по крайней мере, поле мероморфных функций на ней) однозначно. В принципе, измерять то, насколько окрестность комплексного подмногообразия не допускает изоморфизма с окрестностью нулевого сечения своего нормального расслоения, можно было бы измерять при помощи инварианта, похожего на класс Уэды; но он имеется только для подмногообразий коразмерности один, то есть, если речь идёт о лагранжевых подмногообразиях, кривых на поверхностях. В случае эллиптических кривых на комплексных поверхностях, нормальное расслоение к которым топологически тривиально, критерий наличия локального биголоморфизма с кокасательным расслоением даётся так называемой теоремой Арнольда о малых знаменателях: если   — нормальное расслоение эллиптической кривой  , лежащей на комплексной поверхности  , то   вдоль   локально биголоморфна окрестности нулевого сечения   в том и только том случае, если для любой инвариантной метрики   на группе Пикара   функция   имеет асимптотику   (такое же условие на рост знаменателей подходящих дробей к числу является необходимым для того, чтобы это число могло быть алгебраическим, откуда и название теоремы; любопытно, что нарушение схожего условия на отношение периодов обращения небесных тел делает обращение по некоторым орбитам маловероятным, что порождает щели Кирквуда и деление Кассини, см. подробнее в статье «Орбитальный резонанс»). Вместе с тем, в больших размерностях эта наука далека от полного завершения: так, гипотеза Мацушиты, утверждающая, что лагранжево расслоение на гиперкэлеровом многообразии либо изотривиально, либо его слои (которые всегда являются абелевыми многообразиями — это нетрудная теорема) составляют семейство полной размерности в пространстве модулей абелевых многообразий, до сих пор не доказана (хотя в 2015 году существенное продвижение в данном вопросе было получено ван Геменом и Вуазен).

То, что надежды на существование теоремы Дарбу-Вайнштейна для голоморфно симплектических многообразий нету, можно показать иначе. Именно, на окрестности нулевого сечения имеется голоморфное действие группы  , которое умножает кокасательные вектора на комплексные числа, равные по модулю единице. В вышеприведённом примере неизотривиальной эллиптической К3-поверхности такое локальное действие невозможно, потому что все его слои в любой окрестности попарно не биголоморфны. В некотором смысле, это соображение есть единственное препятствие к существованию аналога теоремы Дарбу-Вайнштейна для голоморфно симплектических многообразий. Во всяком случае, следующая теорема содержится в мемуаре Каледина, представленном им в Триесте в 1994 году:[2]

Пусть   — голоморфно симплектическое многообразие, снабжённое регулярным голоморфным действием группы   таким, что элемент   умножает голоморфно симплектическую форму на число  . Тогда существует открытая окрестность   множества неподвижных точек этого действия   и каноническое отображение   такое, что гиперкэлерова метрика на   индуцируется посредством этого отображения с канонической гиперкэлеровой структуры на  .

Им же доказана версия этого утверждения для более общих гиперкомплексных многообразий.

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить