Теорема Дарбу в симплектической геометрии

Теорема Дарбу в симплектической геометрии — утверждение о том, что для любой симплектической структуры, заданной на многообразии $M^{2n}$ , у любой точки в $M^{2n}$ существует открытая окрестность и локальные координаты $q_{1},...,q_{n},p_{1},...,p_{n}$ в ней, в которых симплектическая форма $\omega$ принимает канонический вид $\sum _{j}dp_{j}\wedge dq_{j}$ .

Формулировка

Пусть $\omega$ — симплектическая структура на $M^{2n}$ . Тогда для любой точки $x\in M^{2n}$ всегда существует окрестность с такими локальными регулярными координатами $q_{1},...,q_{n},p_{1},...,p_{n}$ , в которых форма $\omega$ записывается в простейшем каноническом виде, а именно:

\omega =\sum _{i}dp_{i}\wedge dq_{i}

,

то есть в каждой точке этой окрестности матрица $\left(\omega _{ij}\right)$ принимает блочный вид

{\begin{pmatrix}\mathbb {0} &\mathbb {E} \\-\mathbb {E} &\mathbb {0} \end{pmatrix}}

,

где $\mathbb {0}$ и $\mathbb {E}$ — соответственно нулевая и единичная $n\times n$ -матрицы. Совокупность $2\,n$ координат $(q,\,p)$ называют каноническими координатами, или координатами Дарбу, а наборы из $n$ координат $q$ и $p$ — канонически сопряжёнными друг другу.

Доказательство

Юрген Мозер (справа)

В современном доказательстве теоремы Дарбу используется так называемый трюк Мозера. Особенно нагляден он на замкнутых симплектических многообразиях. Именно, пусть $\omega _{0},\omega _{1}$ — две симплектические формы на многообразии $X$ , принадлежащие одному классу когомологий де Рама. Тогда (например, рассматривая их линейные комбинации: конус невырожденных форм выпуклый) их можно связать однопараметрическим семейством симплектических форм $\omega _{t}$ , $t\in [0;1]$ таких, что класс когомологий их один и тот же. Стало быть, по определению когомологий де Рама, имеем право написать ${\frac {\partial \omega _{t}}{\partial t}}=d\eta _{t}$ , где $\eta _{t}$ — некоторая 1-форма. Пусть $v_{t}$ — векторное поле такое, что $\iota _{v_{t}}\omega _{t}=\eta _{t}$ (такое существует в силу невырожденности всех форм $\omega _{t}$ ).

Скомпонуем эти два семейства, а именно векторных полей и 2-форм, в единое векторное поле $V$ , определённое на многообразии с краем $X\times [0;1]$ как $V_{(x,t)}={\frac {\partial }{\partial t}}-(v_{t})_{x}$ , и единую 2-форму $\Omega$ , ограничивающуюся на всякое подмногообразие $X_{t}=X\times \{t\}$ как $\omega _{t}$ (мы неявно отождествляем $X_{t}$ с $X$ путём забывания временной координаты, и без того постоянной на $X_{t}$ ) и зануляющуюся при подстановке в неё векторного поля ${\frac {\partial }{\partial t}}$ . Заметим, что форма $\Omega$ вообще говоря не замкнута как форма на $X\times [0;1]$ : выписывая явную формулу для дифференциала де Рама, легко видеть равенство $\iota _{\frac {\partial }{\partial t}}d\Omega ={\frac {\partial \omega _{t}}{\partial t}}$ (им, вкупе с тождественным занулением вдоль подмногообразий $X_{t}$ , 3-форма $d\Omega$ определяется однозначно).

Итак, применим формулу Картана: $\left(\mathrm {Lie} _{V}\Omega \right)_{t}=\left(d\iota _{V}\Omega +\iota _{V}d\Omega \right)_{t}={\frac {\partial \omega _{t}}{\partial t}}-d\iota _{v_{t}}\omega _{t}=d\eta _{t}-d\eta _{t}=0$ . Следовательно, поток векторного поля $V$ сохраняет форму $\Omega$ . В то же время, его поток переводит подмногообразия $X_{t}$ друг в друга. Следовательно, определяемое им отображение Коши $X_{0}\to X_{1}$ , сопоставляющее начальной точки интегральной кривой её конечную точку, переводит ограничение формы $\Omega$ в ограничение формы $\Omega$ , то есть определяет диффеоморфизм $X$ , переводящий $\omega _{0}$ в $\omega _{1}$ .

В частности, когда многообразие $X$ двумерно, симплектическая форма есть то же самое, что форма площади, так что соответствующий класс когомологий определяется единственным числом — своим интегралом по фундаментальному циклу, иначе говоря, площадь поверхности. Таким образом, класс симплектоморфизма симплектической поверхности определяется однозначно её родом и площадью. Этот факт был известен, кажется, ещё Пуанкаре.

Доказательство для открытой области (то есть оригинального утверждения теоремы Дарбу) несколько более муторно, хотя и не требует иных существенных идей, и есть в книге^[1].

Вариации и обобщения

Алан Вайнштейн (ок. 1985)

Вариант теоремы Дарбу для лагранжевых подмногообразий принадлежит Вайнштейну. Именно, на тотальном пространстве кокасательного расслоения ко всякому многообразию имеется каноническая симплектическая структура. С другой стороны, если $(X,\omega )$ — симплектическое многообразие, и $Y\subset X$ — лагранжево подмногообразие (то есть подмногообразие половинной размерности такое, что $\omega |_{Y}\equiv 0$ ), то имеется изоморфизм касательного и конормального расслоений к $Y$ : касательный вектор $v$ отправляется в функционал $\iota _{v}\omega$ , зануляющийся на $TY$ и потому определённый на нормальном пространстве $TX/TY$ ; в силу невырожденности формы $\omega$ так получается всякий функционал на нормальном пространстве. Дуализируя, можно воспринимать это отображение как отображение из кокасательного расслоения в нормальное. Теорема Дарбу — Вайнштейна утверждает, что это отображение может быть проинтегрировано до настоящего отображения $U\to X$ , где $U$ — некоторая трубчатая окрестность нулевого сечения кокасательного расслоения $T^{*}Y$ , притом такого, что на $Y$ оно постоянно, а симплектическую форму на $U\subset T^{*}Y$ переводит в симплектическую форму на $X$ . В частности, графики замкнутых 1-форм будут при таком отображении переходить в лагранжевы подмногообразия в $X$ , близкие к $Y$ .

Нечётномерный аналог теоремы Дарбу для контактных многообразий приндалежит Грею.

В сущности, теорема Дарбу означает, что никаких локальных инвариантов у симплектическим многообразий нет, что при их изучении смещает фокус в сторону топологии. Некоторым сходством обладают комплексные структуры: для всякого оператора почти комплексной структуры $I\colon TX\to TX$ (то есть такого, что $I^{2}=-\mathrm {Id} _{TX}$ ), удовлетворяющего условию интегрируемости (то есть тому, что мнимые векторные поля, собственные с собственным числом ${\sqrt {-1}}$ для оператора $I$ , при коммутировании дают поле, также являющимся собственным для $I$ с собственным числом ${\sqrt {-1}}$ ), существует комплексная карта, то есть локальное голоморфное отображение в область в $\mathbb {C} ^{n}$ . Это утверждение составляет теорему Ньюлендера — Ниренберга, доказательство которой существенно более сложно. Пример ситуации, когда теорема Дарбу неверна, дают римановы многообразия: для локальной изометрии две метрики должны иметь одинаковые тензоры римановой кривизны. Вместе с тем, римановы метрики проще в том смысле, что для них условие «интегрируемости» (аналогичное вышеприведённому условию для почти комплексной структуры или условию $d\omega =0$ для невырожденной 2-формы) всегда автоматически выполнено: для почти симплектической и почти комплексной структуры условие интегрируемости равносильно существованию линейной связности без кручения, относительно которой эти тензоры параллельны, в то время как для римановой метрики такая связность существует и притом единственна.

Эллиптические расслоения на K3-поверхностях впервые были систематически изучены Лефшецем

Для голоморфно симплектических многообразий аналог теоремы Дарбу-Вайнштейна также не может существовать, притом по существенным причинам. Например, рассмотрим K3-поверхность $X$ с неизотривиальным эллиптическим расслоением (то есть расслоением, общий слой которого гладок, и в окрестности всякого неособого слоя все слои — попарно неизоморфные эллиптические кривые), и $E$ — один из слоёв этого расслоения. Голоморфное кокасательное расслоение к эллиптической кривой тривиально, и графики замкнутых 1-форм, то есть его постоянных сечений, являются эллиптическими кривыми, биголоморфными данной. С другой стороны, как было замечено Хитчиным, голоморфно симплектическая форма, если на неё смотреть как на 2-форму с комплексными коэффициентами, позволяет восстановить комплексную структуру на многообразии однозначно. Если бы существовало отображение $U\to X$ , где $U\subset T^{*}E$ — окрестность нулевого сечения, которое переводит голоморфно симплектическую форму на $T^{*}E$ в голоморфно симплектическую форму на $X$ , то оно было бы само голоморфным, и переводило близкие к $E\subset U$ кривые в близкие к $E\subset X$ кривые, притом биголоморфные $E$ . Но из формулы присоединения видно, что все деформации эллиптической кривой на K3-поверхности образуют однопараметрическое семейство, и принадлежат к одному и тому же эллиптическому расслоению. Стало быть, если расслоение не изотривиально, то такого отображения не может существовать. Для голоморфных $\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}$ в голоморфно симплектических многообразиях (например, рациональных кривых на K3-поверхностях) аналог теоремы Дарбу-Вайнштейна всё же имеется, но в его доказательстве ключевыми являются не геометрические соображения типа трюка Мозера, а теория особенностей или даже теория представлений: так, при сдутии рациональной кривой на К3-поверхности образуется особенность типа A₁, она же фактор $\mathbb {C} ^{2}/\{\pm 1\}$ , она же особенность у нильпотентного конуса алгебры Ли ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ ; а все такие особенности эквивалентны с точностью до аналитического изоморфизма, что даёт изоморфизм для окрестности кривой перед сдутием. Для кривых же большего рода верно в точности противоположное: знание сколь угодно малой окрестности кривой позволяет восстановить поверхность (или, по крайней мере, поле мероморфных функций на ней) однозначно. В принципе, измерять то, насколько окрестность комплексного подмногообразия не допускает изоморфизма с окрестностью нулевого сечения своего нормального расслоения, можно было бы измерять при помощи инварианта, похожего на класс Уэды; но он имеется только для подмногообразий коразмерности один, то есть, если речь идёт о лагранжевых подмногообразиях, кривых на поверхностях. В случае эллиптических кривых на комплексных поверхностях, нормальное расслоение к которым топологически тривиально, критерий наличия локального биголоморфизма с кокасательным расслоением даётся так называемой теоремой Арнольда о малых знаменателях: если $L$ — нормальное расслоение эллиптической кривой $E$ , лежащей на комплексной поверхности $X$ , то $X$ вдоль $E$ локально биголоморфна окрестности нулевого сечения $L$ в том и только том случае, если для любой инвариантной метрики $\rho$ на группе Пикара $\mathrm {Pic} (E)$ функция $-\ln \rho ({\cal {O}}_{E},L^{\otimes n})$ имеет асимптотику $O(\ln n)$ (такое же условие на рост знаменателей подходящих дробей к числу является необходимым для того, чтобы это число могло быть алгебраическим, откуда и название теоремы; любопытно, что нарушение схожего условия на отношение периодов обращения небесных тел делает обращение по некоторым орбитам маловероятным, что порождает щели Кирквуда и деление Кассини, см. подробнее в статье «Орбитальный резонанс»). Вместе с тем, в больших размерностях эта наука далека от полного завершения: так, гипотеза Мацушиты, утверждающая, что лагранжево расслоение на гиперкэлеровом многообразии либо изотривиально, либо его слои (которые всегда являются абелевыми многообразиями — это нетрудная теорема) составляют семейство полной размерности в пространстве модулей абелевых многообразий, до сих пор не доказана (хотя в 2015 году существенное продвижение в данном вопросе было получено ван Геменом и Вуазен).

То, что надежды на существование теоремы Дарбу-Вайнштейна для голоморфно симплектических многообразий нету, можно показать иначе. Именно, на окрестности нулевого сечения имеется голоморфное действие группы $\mathrm {U} (1)$ , которое умножает кокасательные вектора на комплексные числа, равные по модулю единице. В вышеприведённом примере неизотривиальной эллиптической К3-поверхности такое локальное действие невозможно, потому что все его слои в любой окрестности попарно не биголоморфны. В некотором смысле, это соображение есть единственное препятствие к существованию аналога теоремы Дарбу-Вайнштейна для голоморфно симплектических многообразий. Во всяком случае, следующая теорема содержится в мемуаре Каледина, представленном им в Триесте в 1994 году:^[2]

Пусть $X$ — голоморфно симплектическое многообразие, снабжённое регулярным голоморфным действием группы $\mathrm {U} (1)$ таким, что элемент $z\in \mathrm {U} (1)$ умножает голоморфно симплектическую форму на число $z\in \mathbb {C}$ . Тогда существует открытая окрестность $U\subset X$ множества неподвижных точек этого действия $Y=X^{\mathrm {U} (1)}\subset X$ и каноническое отображение $U\to T^{*}Y$ такое, что гиперкэлерова метрика на $U$ индуцируется посредством этого отображения с канонической гиперкэлеровой структуры на $T^{*}Y$ .