Теорема Коши (теория групп)

Теорема Коши в теории групп гласит:

Если порядок конечной группы делится на простое число , то содержит элементы порядка .

Она тесно связана с теоремой Лагранжа, в силу которой порядок любой конечной группы G делится на порядок любой её подгруппы. В силу теоремы Коши для любого простого делителя p порядка группы G, существует подгруппа, чей порядок равен p. Ей является циклическая группа, порождённая элементом из теоремы Коши.

Обобщением теоремы Коши является первая теорема Силова, в соответствии с которой, если pn является максимальной степенью p, на которую делится порядок группы G, то G имеет подгруппу именно такого порядка. Используя тот факт, что группа порядка pn разрешима, можно показать, что G содержит подгруппы любого порядка pr, для которого

Доказательство править

Эту теорему часто доказывают с помощью индукции и применения классов сопряжённости, но для абелевых групп аналогичное утверждение доказать намного проще. В доказательстве также может применяться действие группы.[1]

Вариант 1 править

Сначала докажем эту теорему в частном случае, когда группа G абелева, затем в общем случае. Оба раза теорема будет доказана индукцией по n = |G|, начиная с n = p. База тривиальна, так как любой нетождественный элемент имеет порядок p.

Если G абелева, то рассмотрим любой нетождественный элемент a и порождённую им циклическую подгруппу H. Если p делит |H|, то a|H|/p является искомым элементом порядка p. Иначе p делит не порядок |H|, а порядок [G:H] факторгруппы G/H. Тогда по индуктивному предположению факторгруппа содержит элемент порядка p. Им является один из классов xH, где x лежит в G. Если он имеет порядок m в группе G, то  : благодаря тому, что в группе G xm = e, (xH)m = eH в факторгруппе G/H. Поэтому p делит m; аналогично xm/p окажется элементом порядка p в группе G, что заканчивает доказательство в абелевом случае.

В общем случае пусть группа Z является центром группы G. Тогда Z окажется абелевой. Если её порядок кратен p,то она, как мы уже видели, содержит элемент порядка p. Значит, этот элемент имеет порядок p и в группе G. Иначе p не делит Z. Так как p делит |G|, а G разбивается на Z и остальные классы сопряжённости, один из этих классов содержит элемент a, размер чьего класса не делится на p. Но легко показать, что его размер равен [G : CG(a)] и не кратен p. Поэтому p делит порядок не совпадающего с группой G централизатора CG(a) элемента a в группе G. Но по индуктивному предположению в централизаторе лежит искомый элемент порядка p, что и требовалось доказать.

Вариант 2 править

В этом варианте мы воспользуемся тем фактом, что действие циклической группы простого порядка p порождает только орбиты размеров 1 и p, что сразу следует из теоремы о стабилизаторах орбит.

Подействуем нашей группой на множество решений уравнения

 

т.е. на множество последовательностей из p элементов группы G, чьё произведение равно 1. Такая последовательность однозначно задаётся всеми элементами, кроме последнего, который обратен произведению остальных. Также понятно, что эти p − 1 элементов можно выбирать произвольным способом, и в множестве X имеется |G|p−1 элементов, и их количество кратно p.

Теперь заметим, что в группе ab = e, если и только если ba = e. Поэтому, если  , то  . Значит, циклические перестановки компонентов элемента множества X снова породят элементы X. Это позволяет задать действие циклической группы Cp порядка p на множестве X с помощью перестановки компонентов. Иными словами, порождающий группу Cp элемент переводит

 .

Очевидно, при таком действии орбиты в X имеют размеры 1 или p. Орбита имеет размер 1, если и только если её единственный элемент имеет вид   и  . Так как количество элементов X равно сумме количеств элементов в орбитах, количество элементов  , для которых  , кратно p. Так как одним из них является единичный элемент, всего существует хотя бы   элементов, хотя бы p − 1 из которых не равен единичному, а имеет порядок p. Теорема доказана.

Применения править

Теорема Коши позволяет сразу установить то, какие группы могут быть конечными р-группами, где p — простое число. Именно, конечная группа G является p-группой (т.е. порядки всех элементов — точные степени p), если и только если порядок группы сам является степенью p. Хотя абелев случай также можно применить, чтобы доказать по индукции первую теорему Силова, [2] так же, как в первом доказательстве, существуют и доказательства, в которых этот случай разбирается отдельно.


Пример править

Абелева простая группа может быть только циклической простого порядка. Действительно, в любой такой группе G все её подгруппы нормальны. Значит, если она проста, то все её нормальные подгруппы — либо единичная, либо она сама. если |G| = 1, то G сама является единичной. Иначе в ней есть неединичный элемент aG, и циклическая группа   является неединичной подгруппой G. Значит,   Пусть теперь порядок группы   равен n. Если он бесконечен, то

  что невозможно.

Значит, n конечно. Если n составное, то оно кратно простому q, меньшему n. Но тогда существует подгруппа H порядка q, что противоречит условию. Значит, n просто.

Примечания править

Литература править

  • Cauchy, Augustin-Louis (1845), "Mémoire sur les arrangements que l'on peut former avec des lettres données, et sur les permutations ou substitutions à l'aide desquelles on passe d'un arrangement à un autre", Exercises d'analyse et de physique mathématique, 3, Paris: 151–252
  • Cauchy, Augustin-Louis (1932), Oeuvres complètes (PDF), second series, vol. 13 (reprinted ed.), Paris: Gauthier-Villars, pp. 171—282
  • Jacobson, Nathan (2009) [1985], Basic Algebra, Dover Books on Mathematics, vol. I (Second ed.), Dover Publications, p. 80, ISBN 978-0-486-47189-1
  • McKay, James H. (1959), "Another proof of Cauchy's group theorem", American Mathematical Monthly, 66: 119, doi:10.2307/2310010, MR 0098777, Zbl 0082.02601