Теорема Тонелли — Фубини

(перенаправлено с «Теорема Фубини»)

Теоре́ма Тоне́лли — Фуби́ни в математическом анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах сводит вычисление двойного интеграла к повторным.

ФормулировкаПравить

Пусть даны два пространства с  -конечными мерами  . Обозначим через   их произведение. Пусть функция   интегрируема относительно меры  . Тогда

  • функция   определена  -почти всюду и интегрируема относительно  ;
  • функция   определена  -почти всюду и интегрируема относительно  ;
  • имеют место равенства
 

и

 

Частные случаиПравить

Теория вероятностейПравить

Пусть   — вероятностные пространства, и   — случайная величина на  . Тогда

 

где индекс обозначает вероятностную меру, относительно которой берётся математическое ожидание.

Математический анализПравить

Пусть   функция двух переменных, интегрируемая по Риману на прямоугольнике  , то есть  . Тогда

 

где интеграл в левой части двумерный, а остальные повторные одномерные. Предполагается, что повторные интегралы существуют.

ДоказательствоПравить

Любое разбиение   множества   получено некоторыми разбиениями   отрезка   и   отрезка  , при этом объём любого прямоугольника   определяется  , где   ― некоторые частичные отрезки разбиений. Тогда рассмотрим следующие оценки интеграла

 

и нижних и верхних интегральных сумм функции   и  :
 
 
 
Тогда при интегрируемости   по  , то есть равенстве   из вышеуказанных оценок интеграл   также существует и имеет такое же значение, как и  

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

  • Зорич В. А. Математический анализ. — М.: Наука Главная редакция физико-математической литературы, 1984. — С. 131—138.