Пусть
(
Ω
i
,
F
i
,
P
i
)
,
i
=
1
,
2
{\displaystyle (\Omega _{i},\;{\mathcal {F}}_{i},\;\mathbb {P} _{i}),\;i=1,\;2}
вероятностные пространства , и
X
:
Ω
1
×
Ω
2
→
R
{\displaystyle X\colon \Omega _{1}\times \Omega _{2}\to \mathbb {R} }
случайная величина на
(
Ω
1
×
Ω
2
,
F
1
⊗
F
2
,
P
1
⊗
P
2
)
{\displaystyle (\Omega _{1}\times \Omega _{2},\;{\mathcal {F}}_{1}\otimes {\mathcal {F}}_{2},\;\mathbb {P} _{1}\otimes \mathbb {P} _{2})}
E
P
1
⊗
P
2
[
X
]
=
E
P
1
[
E
P
2
[
X
]
]
=
E
P
2
[
E
P
1
[
X
]
]
,
{\displaystyle \mathbb {E} _{\mathbb {P} _{1}\otimes \mathbb {P} _{2}}[X]=\mathbb {E} _{\mathbb {P} _{1}}\left[\mathbb {E} _{\mathbb {P} _{2}}[X]\right]=\mathbb {E} _{\mathbb {P} _{2}}\left[\mathbb {E} _{\mathbb {P} _{1}}[X]\right],}
где индекс обозначает вероятностную меру , относительно которой берётся математическое ожидание .
Пусть
f
:
D
=
[
a
,
b
]
×
[
c
,
d
]
→
R
{\displaystyle f\colon D=[a,\;b]\times [c,\;d]\to \mathbb {R} }
интегрируемая по Риману на прямоугольнике
[
a
,
b
]
×
[
c
,
d
]
{\displaystyle [a,\;b]\times [c,\;d]}
f
∈
R
(
D
)
{\displaystyle f\in \mathbb {R} (D)}
∬
D
f
(
x
,
y
)
d
x
d
y
=
∫
a
b
[
∫
c
d
f
(
x
,
y
)
d
y
]
d
x
=
∫
c
d
[
∫
a
b
f
(
x
,
y
)
d
x
]
d
y
,
{\displaystyle \iint \limits _{D}f(x,\;y)\,dx\,dy=\int \limits _{a}^{b}\left[\int \limits _{c}^{d}f(x,\;y)\,dy\right]\,dx=\int \limits _{c}^{d}\left[\int \limits _{a}^{b}f(x,\;y)\,dx\right]\,dy,}
где интеграл в левой части двумерный, а остальные повторные одномерные. Предполагается, что повторные интегралы существуют.
Любое разбиение
λ
{\displaystyle \lambda }
[
a
,
b
]
×
[
c
,
d
]
{\displaystyle [a,\;b]\times [c,\;d]}
λ
x
{\displaystyle \lambda _{x}}
X
=
[
a
,
b
]
{\displaystyle X=[a,\;b]}
λ
y
{\displaystyle \lambda _{y}}
[
c
,
d
]
{\displaystyle [c,\;d]}
X
i
×
Y
j
{\displaystyle X_{i}\times Y_{j}}
V
(
X
i
×
Y
j
)
=
|
X
i
|
⋅
|
Y
j
|
{\displaystyle V\left(X_{i}\times Y_{j}\right)=\left|X_{i}\right|\cdot \left|Y_{j}\right|}
X
i
,
Y
j
{\displaystyle X_{i},Y_{j}}
∫
X
d
x
[
∫
Y
f
(
x
,
y
)
d
y
]
(
∗
)
{\displaystyle \int \limits _{X}dx\left[\int \limits _{Y}f\left(x,\;y\right)\,dy\right]\quad (*)}
и нижних и верхних интегральных сумм функции
L
(
f
,
λ
)
{\displaystyle {\mathcal {L}}\left(f,\;\lambda \right)}
U
(
f
,
λ
)
{\displaystyle {\mathcal {U}}\left(f,\;\lambda \right)}
L
(
f
,
λ
)
=
∑
i
,
j
inf
x
∈
X
i
,
y
∈
Y
j
f
(
x
,
y
)
V
(
X
i
×
Y
j
)
⩽
∑
i
inf
x
∈
X
i
(
∑
i
inf
y
∈
Y
j
f
(
x
,
y
)
|
Y
j
|
)
|
X
i
|
{\displaystyle {\mathcal {L}}\left(f,\;\lambda \right)=\sum \limits _{i,\;j}\inf \limits _{x\in X_{i},\;y\in Y_{j}}f\left(x,\;y\right)V\left(X_{i}\times Y_{j}\right)\leqslant \sum \limits _{i}\inf \limits _{x\in X_{i}}\left(\sum \limits _{i}\inf \limits _{y\in Y_{j}}f\left(x,\;y\right)\left|Y_{j}\right|\right)\left|X_{i}\right|}
∑
i
inf
(
∫
Y
f
(
x
,
y
)
d
y
)
|
X
i
|
⩽
∫
X
d
x
∫
Y
f
(
x
,
y
)
d
y
⩽
∑
i
sup
(
∫
Y
f
(
x
,
y
)
d
y
)
|
X
i
|
{\displaystyle \sum \limits _{i}\inf \left(\int \limits _{Y}f\left(x,\;y\right)\,dy\right)\left|X_{i}\right|\leqslant \int \limits _{X}\,dx\int \limits _{Y}f\left(x,\;y\right)\,dy\leqslant \sum \limits _{i}\sup \left(\int \limits _{Y}f\left(x,\;y\right)\,dy\right)\left|X_{i}\right|}
U
(
f
,
λ
)
=
∑
i
,
j
sup
x
∈
X
i
,
y
∈
Y
j
f
(
x
,
y
)
V
(
X
i
×
Y
j
)
⩾
∑
i
sup
x
∈
X
i
(
∑
i
sup
y
∈
Y
j
f
(
x
,
y
)
|
Y
j
|
)
|
X
i
|
{\displaystyle {\mathcal {U}}\left(f,\;\lambda \right)=\sum \limits _{i,\;j}\sup \limits _{x\in X_{i},\;y\in Y_{j}}f\left(x,\;y\right)V\left(X_{i}\times Y_{j}\right)\geqslant \sum \limits _{i}\sup \limits _{x\in X_{i}}\left(\sum \limits _{i}\sup \limits _{y\in Y_{j}}f\left(x,\;y\right)\left|Y_{j}\right|\right)\left|X_{i}\right|}
f
{\displaystyle f}
X
×
Y
{\displaystyle X\times Y}
sup
λ
L
(
f
,
λ
)
=
inf
λ
U
(
f
,
λ
)
{\displaystyle \sup \limits _{\lambda }\,\;{\mathcal {L}}\left(f,\;\lambda \right)=\inf \limits _{\lambda }\,{\mathcal {U}}\left(f,\;\lambda \right)}
(
∗
)
{\displaystyle (*)}
∬
X
×
Y
f
(
x
,
y
)
d
x
d
y
.
{\displaystyle \iint \limits _{X\times Y}f(x,\;y)\,dx\,dy.}
![{\displaystyle \iint \limits _{X_{1}\times X_{2}}f\left(x_{1},\;x_{2}\right)\,\mu _{1}\otimes \mu _{2}\left(dx_{1}\,dx_{2}\right)=\int \limits _{X_{1}}\left[\;\,\int \limits _{X_{2}}f\left(x_{1},\;x_{2}\right)\,\mu _{2}\left(dx_{2}\right)\right]\,\mu _{1}\left(dx_{1}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95400f0b34bca702a965d1344353c1de90172295)
![{\displaystyle \iint \limits _{X_{1}\times X_{2}}f\left(x_{1},\;x_{2}\right)\,\mu _{1}\otimes \mu _{2}\left(dx_{1}\,dx_{2}\right)=\int \limits _{X_{2}}\left[\;\,\int \limits _{X_{1}}f\left(x_{1},\;x_{2}\right)\,\mu _{1}\left(dx_{1}\right)\right]\,\mu _{2}\left(dx_{2}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17f11c68148a9e9e412675bbca4283db66e38947)
![{\displaystyle \mathbb {E} _{\mathbb {P} _{1}\otimes \mathbb {P} _{2}}[X]=\mathbb {E} _{\mathbb {P} _{1}}\left[\mathbb {E} _{\mathbb {P} _{2}}[X]\right]=\mathbb {E} _{\mathbb {P} _{2}}\left[\mathbb {E} _{\mathbb {P} _{1}}[X]\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4c5414aea09c244b996453808add0e3ad5d0450)
![{\displaystyle f\colon D=[a,\;b]\times [c,\;d]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c648d5013e87a339f037a0199ed25741b6a86b4e)
![{\displaystyle [a,\;b]\times [c,\;d]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ea0b8f1390a754fd02e8123ffb7f3c44b9993c8)
![{\displaystyle \iint \limits _{D}f(x,\;y)\,dx\,dy=\int \limits _{a}^{b}\left[\int \limits _{c}^{d}f(x,\;y)\,dy\right]\,dx=\int \limits _{c}^{d}\left[\int \limits _{a}^{b}f(x,\;y)\,dx\right]\,dy,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46c51c144382bd428a1d82af4b83222f035ffd54)
![{\displaystyle X=[a,\;b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0376e0080980f0987c4534611ccccf8116f9710f)
![{\displaystyle [c,\;d]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8eef5081f39687e139249c6f243c160e4e1dc80)
![{\displaystyle \int \limits _{X}dx\left[\int \limits _{Y}f\left(x,\;y\right)\,dy\right]\quad (*)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b4916810b5f557d0dc99862835d953c8c90ec11)
