Формула коплощади

Формула коплощади — интегральная формула, связывающая интеграл по области и интеграл по поверхностям уровней данной функции или отображения. Принцип Кавальери является частным случаем формулы коплощади.

Для справедливости формулы коплощади функция и её область определения должны удовлетворять некоторым свойствам. Наиболее простой случай — гладкая функция, заданная на открытой области . Также она верна для липшицевых и соболевских функций[1].

ФормулировкаПравить

Пусть   есть область в   и   — Липшицево отображение. Тогда формула коплощади имеет вид

 

где   обозначает внешнее произведение   копий дифференциала  , а   —  -мерная хаусдорфова мера.

Частные случаиПравить

  • Для вещественнозначной функции  , формула коплощади имеет вид
     
где   — градиент  .
  • В случае  , мера Хаусдорфа   есть считающая мера, а   есть якобиан   в  . Поэтому формулу можно переписать следующим образом
     
Данная формула также называется формулой площади.

ЛитератураПравить

  1. Federer, H (1959), Curvature measures, Transactions of the American Mathematical Society (Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 93, No. 3) . — Т. 93 (3): 418–491, DOI 10.2307/1993504 .
  • Федерер Г. Геометрическая теория меры. — 1987. — 760 с.