Теорема об уголках

Теорема об уголках — доказанный результат в области аддитивной комбинаторики, утверждающий присутствие некой упорядоченной (в арифметическом смысле) структуры, называемой уголком, в достаточно больших двумерных множествах любой фиксированной плотности.

Подмножество квадрата $6\times 6$ плотности ${\frac {1}{2}}$ (ровно половина клеток) с двумя уголками (выделены цветами)

Для натуральных чисел фактически речь идёт о принадлежности достаточно плотному множеству клеток на двумерной решётке двух концов и точки излома прямого угла со сторонами одинаковой длины, параллельными осям координат.

Формулировка

Теорема касается двумерной решётки и рассматривает множества пар чисел (координат в двумерном пространстве). Для натуральных чисел $x,y,d\ (d\not =0)$ назовём тройку координат $\{{(x,y),(x+d,y),(x,y+d)}\}$ уголком. Будем говорить, что множество содержит некоторый уголок если оно содержит в себе все три точки этого уголка.

Для подмножества двумерной решётки $A\subset \{{1,\dots ,N}\}^{2}$ определим его плотность как ${\rho _{N}}(A)={\frac {|A|}{N^{2}}}$, то есть как долю клеток, принадлежащих множеству, среди всей решётки.

Теорема об уголках Для любого $\delta$ существует такое $N=N(\delta )$, что если множество $A\subset \{{1,\dots ,N}\}^{2}$ имеет плотность $\rho _{N}(A)\geq \delta$, то оно содержит уголок.

История улучшения результатов

Теорема об уголках была доказана Миклошем Аитаи (англ. Miklos Ajtai) и Эндре Семереди в 1974—1975 годах. В 1981 году этот результат был передоказан Хиллелом Фюрстенбергом (англ. Hillel Furstenberg) с использованием методов эргодической теории. Также существует доказательство Йожефа Шоймоши (венг. Jozsef Solymosi), опирающееся на лемму об удалении треугольника из графа.

Кроме самого факта существования $N=N(\delta )$, достаточного для того, чтобы любое множество плотности $\delta$ в квадрате $\{1,\dots ,N\}^{2}$ содержало уголок, уместно рассматривать также порядок роста функции $N(\delta )$, или, наоборот, $\delta (N)$ как максимальной плотности $\delta$ для данного $N$, при которой возможно подмножество без уголков.

Если обозначить как $L(N)$ плотность максимального подмножества квадрата $\{1,\dots ,N\}^{2}$, не содержащего уголков, то основная теорема об уголках будет эквивалентна утверждению о том, что $L(N)=o(1)$, и уместно рассматривать более общий вопрос об улучшении верхних оценок на $L(N)$. Этот вопрос впервые поставил Уильям Тимоти Гауэрс в 2001 году.

В 2002 году Ву Ха Ван доказал, что $L(N)\leq {\frac {100}{(\log _{*}(N))^{1/4}}}$, где $\log _{*}$ — операция, обратная к тетрации по основанию 2 в том же смысле, в котором натуральный логарифм является обратной операцией для экспоненты.

В 2005—2006 годах Илья Шкредов улучшил эту оценку сначала до $L(N)=O\left({\frac {1}{(\log \log \log N)^{C_{1}}}}\right)$, а потом и до $L(N)=O\left({\frac {1}{(\log \log N)^{C_{2}}}}\right)$, где $C_{1}$ и $C_{2}$ — некоторые абсолютные константы.

Связь с теоремой Рота

Теорему об уголках можно считать двумерным аналогом теоремы Рота (частного случая теоремы Семереди для прогрессий длины $3$), ведь в постановке задачи важным является именно равенство двух «сторон» прямоугольного уголка, точно так же как в определении арифметической прогрессии важно равенство двух разностей между соседними числами.

Теорема Рота (1953) Для любого $\delta$ существует такое $N=N(\delta )$, что если множество $A\subset \{{1,\dots ,N}\}$ имеет плотность ${\frac {|A|}{N}}>\delta$, то оно содержит арифметическую прогрессию, то есть тройку чисел $\{a-d,a,a+d\}$ при некоторых $a$ и $d\not =0$.

Из теоремы об уголках можно вывести теорему Рота как прямое следствие.

Доказательство

Схематическое изображение связи уголка и трёхчленной прогрессии в конструкции из доказательства. Красные линии имеют одинаковую длину, так как число 2 "движется" равномерно вверх и вправо с каждой новой линией. Следовательно, равенство сторон уголка, даёт равенство разностей в прогрессии

Для доказательства от противного предположим, что теорема об уголках верна, а теорема Рота не верна, то есть существует какая-то плотность $\delta >0$ такая, что для любого $N$ можно найти подмножество $A\subset \{1,\dots ,N\}$ такой плотности, не содержащее арифметической прогрессии, но аналогичной плотности для покрытия квадрата произвольного размера без образования уголков не существует. Нам нужно, исходя из этого, прийти к противоречию.

Рассмотрим для произвольного $N$ такое множество $A\subset \{1,\dots ,N\}$ $(|A|>\delta N)$ и сконструируем по нему двумерное подмножество квадрата размера $2N$, которое будет контрпримером для теоремы об уголках, то есть будет иметь известную ненулевую плотность и должно будет не содержать уголков.

Таким множеством будет множество вида $X=\{(a+(i-1),i):i\in {1,\dots ,N},a\in A\}$, то есть последовательность строк, представляющих последовательные сдвиги множества $A$. Если бы в таком множестве был уголок, то это означало бы, что во множестве $A$ была арифметическая прогрессия длины $3$, ведь $X$ сконструировано так, что, если $(x,y+d)\in X$, то и $(x-d,y)\in X$, и тогда, кроме уголка, в нём присутствует тройка $(x-d,y),(x,y),(x+d,y)$, отображающая арифметическую прогрессию в конкретную строку.

Однако нашим изначальным предположением было, что в $A$ нет таких прогрессий. Значит, в $X$ нет уголков. Теперь рассмотрим плотность $X$ в квадрате $\{1,\dots ,2N\}^{2}$. Так как сдвигов всего $N$, и они все входят в множество полностью, то плотность равна ${\frac {N|A|}{(2N)^{2}}}>{\frac {\delta N^{2}}{4N^{2}}}={\frac {\delta }{4}}$.

Итак, мы научились строить множество плотности ${\frac {\delta }{4}}$, не содержащее уголков, в квадрате любого размера. Однако это противоречит нашему изначальному предположению о том, что теорема об уголках верна.

Обобщение для групп

Кроме визуально представимых уголков на решётке $\{1,\dots ,N\}^{2}$ можно рассматривать обобщённые «уголки» вида $\{(x,y),(x\circ d,y),(x,y\circ d)\}$, где $x,y,d\in G$, а $G$ — некоторая группа с операцией $\circ$.

Для пространства ${\mathbb {Z} }_{2}^{n}$

Бен Грин в 2005 году рассмотрел вопрос об уголках в группе ${\mathbb {Z} }_{2}^{n}$, то есть не для множества натуральных чисел. а для множества битовых (состоящих из нулей и единиц) последовательностей длины $n$, для которых вместо сложения используется побитовое исключающее или.

Теорема (Грин, 2005) Для любого $\delta$ существует такое $n=n(\delta )$, что если множество $A\subset {\mathbb {Z} }_{2}^{n}\times {\mathbb {Z} }_{2}^{n}$ имеет плотность ${\frac {|A|}{2^{2n}}}\geq \delta$, то оно содержит уголок вида $\{(x,y),(x+d,y),(x,y+d)\}$, где $x,y,d\in {\mathbb {Z} }_{2}^{n}$, а сложение производится по модулю 2.

Общая схема доказательства для ${\mathbb {Z} }_{2}^{n}$

Показатели равномерности

В доказательстве используются два показателя равномерности распределения множеств - один для "одномерных" подмножеств $E\subset {\mathbb {Z} }_{2}^{n}$, а другой для "двумерных" $A\subset E_{1}\times E_{2}$, где $E_{1},E_{2}\subset {\mathbb {Z} }_{2}^{n}$

В качестве показателя равномерности для одномерных множеств используется специальным образом адаптированное преобразование Фурье, где в качестве коэффициентов используются корни из единицы, а в место умножения - аналог скалярного произведения вида ${\overline {x}}\cdot {\overline {y}}=\sum \limits _{i=1}^{n}{x_{i}y_{i}}{\pmod {2}}$. Если ${\widehat {E}}(\xi )=\sum \limits _{x\in E}{e^{-(x\cdot \xi )\pi i}}=\sum \limits _{x\in E}{(-1)^{x\cdot \xi }}$, то малое значение $\max \limits _{\xi \not =0}{{\widehat {E}}(\xi )}$ в некотором смысле означает близость множества $E$ некоторому случайно распределённому множеству той же плотности, что означает присутствие в нём большего количество структурированных подмножеств, чем во многих остальных. Если $\max \limits _{\xi \not =0}{{\widehat {E}}(\xi )}<2^{n}\alpha$ для некоторого $\alpha$, то говорят, что множество $E$ является $\alpha$-равномерным.

Для множества $A\subset E_{1}\times E_{2}\subset {\mathbb {Z} }_{2}^{n}\times {\mathbb {Z} }_{2}^{n}$ имеет смысл рассматривать балансовую функцию ${f_{A}}(x,y)=[(x,y)\in A]-\rho [(x,y)\in E_{1}\times E_{2}]$, где $\rho =\rho (A)={\frac {|A|}{|E_{1}||E_{2}|}}$ - плотность множества, а выражение в квадратных скобках означает индикатор принадлежности множеству. Для балансовой функции определяется так называемая прямоугольная норма $\lVert {f_{A}}\rVert ^{4}=\sum \limits _{x_{1},y_{1},x_{2},y_{2}}{{f_{A}}(x_{1},y_{1}){f_{A}}(x_{1},y_{2}),{f_{A}}(x_{2},y_{1}),{f_{A}}(x_{2},y_{2})}$. Если величина этой нормы в некотором смысле достаточно мала, то это также означает близость $A$ к случайному множеству. Если $\lVert {f_{A}}\rVert ^{4}<\alpha |E_{1}|^{2}|E_{2}|^{2}$, то множество $A$ называется $\alpha$-равномерным по прямоугольной норме.

Описание алгоритма

Доказательство производится от противного, то есть изначально предполагается, что множество $A$ имеет плотность $\delta$ и не содержит уголков. Доказательство представляет собой алгоритм последовательного перехода от множества $A$ к его подмножеству, содержащемуся в произведении пространств меньшей размерности и имеющего там бо́льшую плотность. Дальше переход по той же схеме осуществвляется от этого подмножества к его же подмножеству, и так далее, пока в очередном подмножестве не найдётся арифметическая прогрессия (которая, очевидно, будет принадлежать и самому $A$). Остановка алгоритма в некоторый момент гарантируется тем, что плотность множества не может превышать единицу, а от множества плотности $\delta$ переход производится к его подмножеству плотности (в некотором более узком пространстве) $\delta +2^{-32}\delta ^{24}$, так что через $2^{32}\delta ^{-24}$ сужений подмножества алгоритм завершает свою работу.

Очередное подмножество $A_{i}\subset A$ рассматривается не только как $A_{i}\subset W_{i}\times W_{i}$, где $W_{i}\subset {\mathbb {Z} }_{2}^{n}$ - некоторое подпространство, но и более узко, как $A_{i}\subset E_{1}^{(i)}\times E_{2}^{(i)}$, где множества $E_{1}^{(i)},E_{2}^{(i)}\subset W_{i}$ - произвольные множества, но имеющие малые коэффициенты Фурье. Формально можно условиться, что $A_{0}=A$, $W_{0}={\mathbb {Z} }_{2}^{n}$, $E_{1}^{(0)}=E_{2}^{(0)}={\mathbb {Z} }_{2}^{n}$

Далее мы будем рассматривать отдельный шаг алгоритма, и обозначать плотности множеств $E$ как $\beta _{1}={\frac {E_{1}^{(i)}}{|W|}}$ и $\beta _{2}={\frac {E_{2}^{(i)}}{|W|}}$. Эти плотнсти также имеют значение при доказательстве.

Во всех трёх рассматриваемых далее случаях $\alpha$-равномерность множеств $E$ имеется ввиду относительно текущего пространства $W_{i}$

На каждом отдельном этапе алгоитма возможны три случая:

Случай 1

Множества $E_{1}^{(i)}$ и $E_{2}^{(i)}$ являются $\alpha _{1}$-равномерными для некоторого $\alpha _{1}=\alpha _{1}(\delta ,\beta _{1},\beta _{2})$. Множество $A_{i}$ является $\alpha _{2}$-равномерным для некоторого $\alpha _{2}=\alpha _{2}(\delta )$.

В этом случае наличие уголков можно доказать буквально, не углубляясь к подмножествам. Более того, можно доказать что множество $A$ содержит не менее ${\frac {\delta ^{3}\beta _{1}\beta _{2}}{2}}|W|^{3}$ уголков. Это лучшая по порядку роста оценка, поскольку количество уголков, очевидно, не может превышать $|W|^{3}$ (ведь уголок определяется тремя числами, $x,y,d\in W$).

Случай 2

Множество $A$ не является $\alpha _{2}$-равномерным для того же $\alpha _{2}$, что и в предыдущем случае.

Тоода оказывается возможным выбрать подмножества $F_{1}\subset E_{1}$, $F_{1}\subset E_{2}$ такие, что их размер не намного меньше размеров $E_{1},E_{2}$ (уменьшается не более чем в $p({\frac {1}{\delta }})$ раз, где $p$ - полином), а плотность множества $A$ среди $F_{1}\times F_{2}$ значительно превышает его плотность среди $E_{1}\times E_{2}$ (превышает на $q(\delta )$ где $q$ - полином)

Случай 3

Одно из множеств $E_{1}^{(i)},E_{2}^{(i)}$ не является $\alpha _{1}$-равномерными (для того же $\alpha _{1}$, что и в первом случае).

Заметим, что этот случай не может возникать на самом первом шаге, так как $E_{1}^{(0)}=E_{2}^{(0)}={\mathbb {Z} }_{2}^{n}$, а пространство относительно самого себя, конечно, всегда $0$-равномерно.

В этом случае используется прирост множества c предыдущего шага, а именно, если множество $A_{i}$ имеет плотность $\delta _{0}+\tau$ среди $E_{1}^{(i)}\times E_{2}^{(i)}$, то доказывается существование некоторого подпространства $W_{i+1}\subset W_{i}$ и некоторых сдвигов множеств $E_{1}^{(i)},E_{2}^{(i)},A$, таких, что при переходе к их (сдвигов) пересечениям с этим подпространством новые одномерные множества оказываются $\sigma$-равномерными для произвольного заранее выбранного $\sigma$, а плотность нового двумерного множества оказывается не меньше, чем $\delta _{0}+{\frac {\tau }{4}}$.

В качестве $\sigma$ здесь можно выбрать $\alpha _{1}$, а в качестве $\tau$ прирост множества, обеспеченный на предыдущем шаге алгоритма. Таким образом, мы лишь немного (в четыре раза) уменьшаем скорость прироста плотности множества $A$ по ходу алгоритма, но зато обеспечиваем на каждом шаге $\alpha _{1}$-равномерность множеств $E_{1}^{(i)},E_{2}^{(i)}$, а это позволяет нам утверждать, что случаями 1 и 2 исчерпываются все возможные случаи.

Для произвольных абелевых групп

Илья Шкредов в 2009 году доказал обобщение для абелевых групп.

Теорема Существует абсолютная константа $c>0$ такая, что если $(G,\circ )$ — абелева группа, $A\subset G\times G$, то из $|A|\geq {\frac {|G|^{2}}{({\log \log {|G|}})^{c}}}$ следует присутствие в $A$ уголка $\{(x,y),(x\circ d,y),(x,y\circ d)\}$